El libro de Spanier es relativamente antiguo (así que sé que no responde del todo a tu pregunta), pero es excelente. Utiliza la teoría de categorías desde el principio. El libro de Riehl "Categorical homotopy theory" está muy bien escrito, aunque puede ser demasiado avanzado si no has visto ya un poco de topología algebraica. El libro de Riehl se centra en el aspecto categórico a través de las estructuras del modelo de Quillen. Un área mayor e importante de la topología algebraica. Los requisitos categóricos para apreciar la maquinaria de Quillen no son modestos, y el libro hace un gran trabajo presentando todo lo necesario.
Dicho esto, si encuentra un texto que le guste pero que evite el lenguaje de la teoría de las categorías, debería poder rellenar los huecos por su cuenta con bastante facilidad. Basta con consultar fuentes en línea (por ejemplo, el nLab) para obtener las imágenes categóricas (y más) de cualquier concepto que esté aprendiendo. En un texto introductorio probablemente cubrirá el grupo fundamental(oid), el Teorema de Van Kampen, algunos grupos superiores de homotopía y algo de homología. Debería ser fácil encontrar la descripción categórica/functorial de estos conceptos, independientemente de cómo lo presente el libro.
