Metrizable heterótica

Question

Supongo que $X$ es un espacio métrico. ¿Cuándo tiene una compactación metrizable?

Por supuesto es suficiente para hablar de espacios métricos completos, pero separación no puede ser asumido aquí.

Sé que los espacios localmente compactos tienen un punto de compactación, sin embargo no sé aún si aquellos son siempre metrizable. En el caso separable creo que puedo demostrarlo, sin embargo éstos son dos supuestos adicionales.

Answer 1

Primero de todos, un espacio métrico compacto es segundo contable, por lo tanto, un espacio metrizable puede ser homeomórficos a un subespacio de un compacto metrizable espacio sólo si es segundo contable.

Así que supongamos $X$ es separable espacio metrizable. Elegir un compatibles métrica $0 \leq d \leq 1$, y completa $X$ para obtener un espacio polaco $\overline{X}$ con un homeomórficos copia de $X$ en el interior. Ahora, como he argumentado en mi respuesta aquí, cada espacio polaco es homeomórficos a un $G_{\delta}$ dentro del cubo de Hilbert $[0,1]^{\mathbb{N}}$.

La incrustación en sí es fácil, basta con elegir un subconjunto denso $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subset X$ y un mapa de la $x$ $(d(x,x_n))_{n \in \mathbb{N}} \in [0,1]^{\mathbb{N}}$(recordemos que elegimos un almacén de métrica $0 \leq d \leq 1$). Esto es obviamente continua, y no es difícil mostrar que es un homeomorphism en su imagen. A ver que la imagen de $\overline{X}$ $G_{\delta}$ es más difícil y explicadas en detalle en la respuesta a Apostolos la pregunta que he mencionado anteriormente.

Resultado: cada separable espacio metrizable es homeomórficos a un subespacio de Hilbert cubo (este es uno de los 100 variantes y mejoras de la Urysohn teorema).

Nota:

• El punto de compactification no es una opción viable, como es Hausdorff sólo si $\overline{X}$ es localmente compacto.
• No se puede hacer mejor que un $G_{\delta}$ para completar los espacios, ya que abrir los subconjuntos de (a nivel local) compacto espacios localmente compactos, por lo tanto, para tener una compactification en el sentido más estricto que el $\overline{X}$ ser abierto y denso, local compacidad de $\overline{X}$ es necesario.

Por último, si un localmente compacto espacio metrizable, entonces es necesariamente segundo contables, de ahí su punto de compactification es segundo contable, y de nuevo por Urysohn metrizable y $\overline{X}$ es un subconjunto abierto de su punto de compactification.

Para más información sobre esto, consulte Kechris, Clásica descriptivo de la teoría de conjuntos, Springer GTM 156, Springer 1994. Véase en particular el Teorema 5.3 en la página 29.