Una forma cerrada de $\int_0^\infty\frac{\sqrt[\phi]{x}\ \arctan x} {\left (x ^ \phi + 1\right) ^ 2} dx$

Question

¿Es posible evaluar la siguiente integral en una forma cerrada? $$ \int_0^\infty\frac{\sqrt[\phi]{x}\ \arctan x} {\left (x ^ \phi + 1\right) ^ 2} dx, $ donde $\phi$ es el cociente de oro: $$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$

Answer 1

Desde $\frac1\phi=\phi-1$, obtenemos $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{\sqrt[\phi]{x}\,\arctan(x)}{\left(x^\phi+1\right)^2}\mathrm{d}x &=\int_0^\infty\frac{x^\phi\arctan(x)}{\left(x^\phi+1\right)^2}\frac{\mathrm{d}x}{x}\etiqueta{1}\\ &=\int_0^\infty\frac{x^\phi(\frac\pi2-\arctan(x))}{\left(x^\phi+1\right)^2}\frac{\mathrm{d}x}{x}\tag{2} \end{align} $$ De un promedio de $(1)$ y $(2)$ para obtener $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{\sqrt[\phi]{x}\,\arctan(x)}{\left(x^\phi+1\right)^2}\mathrm{d}x &=\frac\pi4\int_0^\infty\frac{x^\phi}{\left(x^\phi+1\right)^2}\frac{\mathrm{d}x}{x}\etiqueta{3}\\ &=\frac\pi{4\phi}\int_0^\infty\frac{x}{\left(x+1\right)^2}\frac{\mathrm{d}x}{x}\etiqueta{4}\\ &=\frac\pi{4\phi}\etiqueta{5} \end{align} $$ Explicación:

$(1)$: $\frac1\phi=\phi-1$
$(2)$: Sustituto $x\mapsto\frac1x$
$(3)$: Promedio de $(1)$ y $(2)$
$(4)$: Sustituto $x\mapsto x^{1/\phi}$
$(5)$: $\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{(x+1)^2}=\left[-\frac1{x+1}\right]_0^\infty=1$

Answer 2

de robjohnresultado se puede generalizar a todos real $a\ne0$: $$ \int_0^\infty\frac{x^{a-1}\arctan x} {(x ^ a + 1) ^ 2} dx = \frac\pi {4\, |a|}. $$