¿Por qué no hay un buen producto fórmula para antiderivatives?

Question

Computación antiderivatives es más difícil de calcular derivadas, en parte debido a la falta de una `fórmula de producto"; es decir, mientras que $(fg)'$ puede ser expresado en términos de $f,f',g,g'$, no parece haber ninguna manera de expresar $\int fg$ en términos de $f, \int f, g \int g$ y cantidades relacionadas con la. ¿Hay alguna razón intuitiva o heurística explicación de por qué no existe tal fórmula? Estoy buscando un no-rigurosa explicación que puede ser entendido por el primer año de cálculo estudiantes.

Answer 1

SUGERENCIA $\ $ Si no eran un producto de la regla de $\rm\:\int f\:g\ =\ p(f,g,\int f,\int g)\:$ para algunos polinomio $\rm\:p\:$ $\rm\:f = x,\ g = 1/x^2\:$ esto implicaría que $\rm\: log(x)\:$ es una función racional.

Answer 2

Ampliando la idea de @Bill Dubuque, hagamos la hipótesis de que tenemos una función derivable $p(x_1,x_2,x_3,x_4)$ tal que $\int fg=p(f,g,\int f,\int g)$ para todas las funciones diferenciables $f$$g$. (Asumiendo $f$ $g$ son meramente continua no es lo suficientemente bueno, desde luego el lado derecho no puede ser diferenciable, mientras que el lado izquierdo debe ser.)

Más precisamente, se supone que siempre que $F$ $G$ son dos veces diferenciables, tenemos $$ \frac d{dx}p(F'(x),G'(x),F(x),G(x)) = F'(x)G'(x). $$ Tomemos $F(x)=ux^2+ax+c$$G(x)=vx^2+bx+d$. Uso de la multi-variable regla de la cadena, obtenemos \begin{align*} ab &= F'(0)G'(0) = \frac d{dx}p(F'(x),G'(x),F(x),G(x))\bigg|_{x=0}\\ &= 2up_1(a,b,c,d) + 2vp_2(a,b,c,d) + ap_3(a,b,c,d) + bp_4(a,b,c,d). \end{align*} (Aquí, $p_j=\partial p/\partial x_j$.) Desde el lado de la mano izquierda no depende de $u$$v$, debemos tener $p_1=p_2=0$, para todos los $a,b,c,d$. Pero esto implica que la función de $p$ sólo depende de $x_3$$x_4$. Por lo que la anterior se reduce a $$ ab = ap_3(c,d) + bp_4(c,d). $$ Tomando $a=1$ $b=0$ da $p_3=0$, para todos los $c,d$. Tomando $a=0$ $b=1$ da $p_4=0$, para todos los $c,d$. Finalmente, entonces, tenemos que la función de $p$ es una función constante. Desde una función constante no puede satisfacer nuestra hipótesis, esto demuestra que no puede haber tal función.

Answer 3

Mi respuesta:

La diferenciación es algo así como tomar la diferencia de dos cosas (que están muy juntos).

La integración es algo así como tomar la suma de muchas cosas (que puede ser fluctuante).

Supongamos $f$ $g$ son funciones que "sabemos" cómo diferenciar e integrar. Eso es algo análogo a decir que tienen expresiones para

$f_2-f_1$

$g_2-g_1$

$f_1+\cdots+f_n$

$g_1+\cdots+g_n$

Querer diferenciar o la integración del producto $fg$ es algo análogo a querer fórmulas para $f_2g_2-f_1g_1$ o de $f_1g_1+\cdots+f_ng_n$.

Con una diferencia de dos cosas, usted puede hacer algebraicas "trucos" como $f_2g_2-f_1g_1=f_2g_2-f_1g_2+f_1g_2-f_1g_1$.

No es tan fácil encontrar una expresión algebraica "truco" para expresar $f_1g_1+\cdots+f_ng_n$ en términos de$f_1+\cdots+f_n$$g_1+\cdots+g_n$.

Answer 4

Tal vez el uso de la noción de "función primaria". Hay funciones elementales $A,B$ tanto $\int A$ $\int B$ son primarias, sino $\int(AB)$ no es elemental. Por lo que no hay simple "producto de la regla" para la integración, ya que cualquier simple combinaciones de funciones elementales es de nuevo la primaria.

Ejemplo: $A(x) = \cos x$, $B(x) = \frac{1}{x}$. A continuación, $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x +C$ son primarias, sino $\int \frac{\cos x}{x}\,dx$ no lo es.

Answer 5

Podría decirse que la integración por partes es el anti-derivado de la forma de la regla del producto; de hecho se deriva de la diferenciación (es decir, los habituales) producto de la regla.