Sólo hay una medida interesante espacio

Question

En la página 52 de la Geometría no conmutativa (disponible aquí: http://www.alainconnes.org/docs/book94bigpdf.pdf), Alain Connes de los estados,

"Esta riqueza de transformaciones de una medida de espacio $X$ está ligado a la existencia, hasta el isomorfismo, de sólo una medida interesante espacio: un intervalo equipado con medida de Lebesgue."

¿Cuál es la versión más precisa de este pensamiento? (es decir, lo que hace interesante que decir?) Y donde puedo encontrar una prueba?

He encontrado una relevante teorema en la página 279 en el volumen dos de Bogachev, la Teoría de la Medida:

9.3.4. Teorema. Cada separables atomless medir el álgebra es isomorfo a la medida de álgebra de algún intervalo de la medida de Lebesgue.

La Enciclopedia de las Matemáticas llama a esto el teorema de isomorfismo (http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Measure_algebra_%28measure_theory%29).

Answer 1

Parece que la siguiente discusión puede ser de su interés. No hay una definición formal de los estándares de probabilidad en el espacio: Bogachev, el resultado es sin duda relevante aquí - sin embargo, yo no diría que interesante toda probabilidad, los espacios son atomless: tenga en cuenta que un estándar de la probabilidad de que el espacio tiene átomos. Muy interesante, hay más probabilidades de medios: se encuentra en las aplicaciones, como construcciones de procesos estocásticos etc.

Hay varios equivalencia de los resultados en esta área, uno de los mejores siendo Borel teorema de isomorfismo que esencialmente dice que cualquier "interesante" medibles espacio es isomorfo a una unidad de intervalo de con el habitual $\sigma$-álgebra. Tenga en cuenta que aquí se habla de isomorphisms entre medibles (no medida) de los espacios, para que las medidas no son fijos, sin embargo, y por lo tanto no podemos hablar de isomorfismo mod 0 hasta el momento. Por lo tanto, Borel isomoprhism teorema impone condiciones más fuerte, sin embargo, incluso ellos suelen ser suficientes en la mayoría de los no-artificial probabilístico/medida-las construcciones teóricas.