$S$ -Notación de unidades y teorema de la unidad de Dirichlet

Question

Me cuesta entender algunas nociones de un trabajo en el que estoy trabajando. Deja que $L/K$ sea una extensión normal finita de campos numéricos y $S$ sea un conjunto de lugares de $K$ primo a $p$ donde $p$ denota un primo impar. El autor define un grupo

$$R_{K,S} = \{x \in \mathbb{Z}_p \otimes E_K, x \equiv 1 \mod \nu, \nu \in S\}$$ donde $E_K$ denota los grupos de unidades de $K$ . Se plantean varias cuestiones:

1) ¿Es $R_{K,S}$ igual a los grupos de $S$ -unidades de $K$ , $\mathcal{O}_{K,S}^\times = \{a\in K, v_{\mathfrak{p}}(a) = 0 \ \forall \mathfrak{p} \notin S \}$ como se define en la página 451 de Neukirch, Schmidt, Wingberg: Cohomology of Number Fields, tensada con $\mathbb{Z}_p$ ?

2) ¿Qué "sucede" cuando se tensa sobre $\mathbb{Z}_p$ ? Sé que se puede convertir cualquier grupo en un $\mathbb{Z}_p$ -pero ¿hay alguna intuición de por qué uno haría eso? ¿Surge el grupo anterior de forma natural como núcleo de algún mapa?

3) ¿Existe una noción más natural del grupo anterior en términos de ídolos?

4) Una pregunta general sobre el teorema de la unidad de Dirichlet para $S$ -unidades: ¿Existe una versión sin restricciones en $S$ es decir, sin tener que suponer que los lugares arquimédicos están en $S$ es decir $S_\infty \subset S$ ?

EDITAR : Es $x \equiv 1 \mod \nu$ para $\nu \in S$ sólo una noción atípica de $S$ siendo un módulo $S = \prod_{\nu} \nu$ ?

Gracias por su ayuda. :) Tom

EDITAR (29/11/2013) : Para 1): Mi suposición (arriba) no es correcta, pero: Es $R_{K,S} = E_{K,S,1} \otimes \Bbb Z_p$ , donde $E_{K,S,1}$ denota el subgrupo de $E_K$ que son unidades principales en cada lugar $\nu \in S$ ?

Para 2): Ahora sé que tensar sobre $\Bbb Z_p$ mata a la primera a $p$ -y cada módulo se convierte en un $\Bbb Z_p$ -Por lo tanto, se puede hablar del módulo $\Bbb Z_p$ -de cada módulo.

Para 4): Ahora sé que no puede haber ninguna versión sin los lugares infinitos, porque son esenciales para la prueba. Pero cómo puedo utilizar realmente el teorema de la unidad de Dirichlet, tal como se indica en Neukirch, Schmidt, Wingberg: Cohomología de campos de números 2ª edición 2008 La proposición (8.7.2) para calcular el $\Bbb Z_p$ -Rango de un $\Bbb Z_p$ -submódulo de $\mathcal{O}_{K,S}^\times$ de índice finito?

Answer 1

Bien, déjame intentarlo. En primer lugar, no creo que la definición propuesta de $R_{K, S}$ tiene sentido. En $\mathbf Z_p \otimes E_K$ perdemos los mapas de la clase de residuos lejos de $p$ . Debería ser más bien

$$R_{K, S} = \{x \in E_K : x \equiv 1 \mod \nu, \forall \nu\in S\} \otimes_{\mathbf Z} {\mathbf Z_p}.$$

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No es cierto que $R_{K, S} = \mathcal O_{K, S}^\times \otimes \mathbf Z_p$ . El rango de $R_{K, S}$ está limitada por el rango de $E_K$ y en general el rango de $\mathcal O_{K, S}^\times$ es mucho mayor.

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Tensores con $\mathbf Z_p$ como usted dice, tiene el efecto de matar el $p$ -Torsión. En cuanto a la pregunta de por qué uno querría hacer eso, no puedo decirlo realmente sin ver el contexto. En cualquier caso, no veo una definición natural de $R_{K, S}$ en términos de idèles. Tampoco estoy seguro de que aparezca de forma natural como núcleo de algún mapa. (¡Perdón por todas estas respuestas decepcionantes!)

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En cuanto al Teorema de la Unidad de Dirichlet, en general no se supone que $S$ contiene los lugares arquimédicos. Por ejemplo, el teorema clásico de la unidad (que afirma la finitud de $\mathcal O^\times_K$ ) es el caso $S=\emptyset$ Según yo. Sin embargo, tal vez algunos autores utilicen definiciones diferentes y consideren que el teorema clásico de la unidad es el caso en el que $S$ consiste en todos los lugares arquimédicos. En realidad, depende de las definiciones de que se trate, pero los enunciados deberían ser los mismos al final.