Existencia de la no-conmutativa desingularizations

Question

Deje $R$ ser normal, anillo local de dimensión al menos $2$. Deje $M$ ser un reflexiva $R$-módulo y deje $A=Hom_R(M,M)$. Supongamos $A$ ha finito dimensión global. A continuación, puede ver $A$ como una débil no conmutativa desingularization de $R$ (nota de que: a) existe un natural mapa de $R\to A$, y b) en la conmutativa caso, finito dimensión global implica la regularidad, de ahí el nombre).

Este concepto imita Van den Bergh la definición de no-conmutativa crepant resolución (NCCR). Su definición surge a partir de una prueba de la dimensión $3$ caso de Bondal-Orlov conjetura. Esta es una larga historia, pero una excelente cuenta de las razones detrás de la definición se puede encontrar en la Sección 4 de este documento. Para la existencia de NCCR en algunas de las grandes dimensiones de la caja, compruebe hacia fuera este.

Ahora, no conmutativa crepant resolución no siempre existe (la de arriba papeles de prueba de la equivalencia, en algunos casos, con la existencia de proyectiva crepant resoluciones, que rara vez existe en altas dimensiones). Lo que sabemos de Hironaka, en el carácter $0$ al menos, es que la resolución de la singularidad de existir. Así:

Pregunta: ¿débil no conmutativa desingularizations de $R$ (según lo especificado en el primer párrafo) siempre existen?

Algunos debates (soy un principiante en esto, así que siéntase libre de corregirme):

1) ¿por Qué débil? Por Morita equivalencia, asegura el desingularization es un isomorfismo sobre el locus de una de las necesidades de $M$ ser libre en ese locus de $R$.

2) Si uno requiere de condiciones adicionales (como $M$ ser un generador de cogenerator) a continuación hay ejemplos cuando tales desingularization no existe (en el papel por Iyama que se me olvidó el nombre). No he visto un ejemplo en la generalidad de arriba.

3) los resultados son positivos en diemension $0,1$, pero me importa normal de los anillos, por lo que empezamos en la dimensión $2$.

4) Algunas personas, como Van den Bergh o Lieven le Bruyn probablemente sabe. Puede ser que están incluso en MO!

Agradecería incluso heurística razones para una u otra manera.

EDIT: La pregunta que ahora se resuelve, por Lieven la respuesta de abajo (como era de esperar (:). Voy a dar un poco más de detalles en caso de que alguien está interesado: Van den Bergh y Stafford demostrado que, en el carácter $0$ si $A$ es un no-conmutativa crepant resolución, $R$ ha racional de la singularidad. La definición de NCCR es más fuerte, pero si, por ejemplo, $R$ es Gorenstein de dimensión $2$, que coincide con mi versión. Así que un contraejemplo es algo como $R=k[x,y,z]/(x^3+y^3+z^3)$, que es un no-racional de la hipersuperficie.

Answer 1

Si usted no tiene ya, definitivamente, retirar el papel por Burban Iyama Keller y Reiten en Clúster de Inclinación para unidimensional de la Hipersuperficie Singularidades.

También, usted puede buscar en google "Auslander representación dimensión." Se define por rep.dim(R) = inf{gl.dim(End_R(M)) | M es un generador de cogenerator}.

En el ADE caso de que el preprojective álgebra de los afín dynkin carcaj surge de esta manera, y ha finito dimensión global.

Pero usted está cayendo la condición de que M sea un generador de cogenerator.

Éste es un resultado general de Van den Bergh: Supongamos que X es separado. Entonces existe un perfecto complejo E tales que D(Qcoh X) es equivalente a D(A) donde a es el DG-álgebra RHom_X(E,E).

Aquí hay otro artículo que está muy relacionado con: D. Orlov, Observaciones sobre los generadores y las dimensiones de los nidos de las categorías.

Answer 2

Ya hay ejemplos de lo contrario, en la dimensión 2. Si usted toma un 2-dml no-racional de la singularidad, entonces no puede existir un no-conmutativa de la resolución en su sentido. De hecho, cualquiera de los 2-dml nc-resolución de su sentido es también un nc-resolución de Michel sentido y por lo que debe tener racional singularidades por un resultado de Toby Stafford y Michel.

En la dimensión dos se puede recurrir a un antiguo cosas tales como el libro " Graded órdenes de Fred, Michel y yo, en línea una versión escaneada puede ser encontrado aquí. Lema IV.2.3 dice que los mansos de la orden (tal como en la Final(M)) de global dim 2 es "moderado regular' (defn IV.1.4) y, por tanto, un manso de orden finito de representación de tipo que se clasifican más en el libro de producir racional central de singularidades. Que lexema (y dfn IV.1.1 y thm IV.1.2) también muestra que tu y Michel dfns coinciden en dim 2.

Además, no entiendo tu comentario acerca de un Iyama contraejemplo en el caso M es proyectivo? En ese caso Extremo(M) es Azumaya, por lo que si se ha finito gldim, a continuación, el centro tiene que ser regular.

Answer 3

(lo siento, no puedo responder bc no tengo suficientes puntos) El VdB resultado estoy citando es a partir de su encuesta en papel, en la FM se transforma; se hace referencia tanto a sí mismo y Rouquier para pruebas. Esto ayuda porque tal vez usted no tiene un álgebra con finito dimensión global, pero tiene un dga. Filosóficamente, en mi humilde opinión, D(A) = Perf Y, donde Y es que algunos aspirantes variedad lisa.

Como para el Gorenstein condición, tal vez alguien que sepa sobre el modelo de un mínimo de programa podría comentar sobre esto. Todo lo que sé es que hay un papel por Yoshino, "Calificada CM de módulos clasificados CM dominios", donde relata la estable de la categoría de clasificados CM módulos de un no-Gorenstein anillo a uno donde es Gorenstein. básicamente la idea es que Proj R (en el stacky sentido) es equivalente a Proj R' (stacky sentido). El ejemplo que da es fácil ver en términos de Q-divisores en P1. pero de todos modos, es irse por la tangente..