Continua y acotada variación no implica absolutamente continua

Question

Sé que una función continua que es un BV puede no ser absolutamente continua. Hay un ejemplo de una función? Yo estaba buscando un BV cuya derivada no es Lebesgue integrable, pero no pude encontrar uno.

Answer 1

El Diablo de la escalera de la función hace el truco.

Su derivada es casi seguramente cero con respecto a la medida de Lebesgue, así que la función no es absolutamente continua.

Ver http://mathworld.wolfram.com/DevilsStaircase.html

Answer 2

Byron ya respondió tu pregunta principal, pero su última frase es otro asunto. Quieres un BV función cuya derivada no es integrable, pero tales cosas no existen. En particular, si $f$ es monotono en $[a,b]$, $f'$ existe una.e., es Lebesgue integrable, y $\int_a^b f' \leq f(b)-f(a)$. Por lo tanto la mitad del teorema fundamental del cálculo se mantiene, por así decirlo. General BV funciones son las diferencias de la monotonía de las funciones, así como en sus derivados también son Lebesgue integrable.

Answer 3

f(x)=[x] es De variación acotada en [0,1], pero no continuas y no abs. cont.