¿Cómo puedo demostrar que $\frac {a^2}b + \frac {b^2}c + \frac {c^2}d + \frac {d^2}a \ge 4$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4$?

Question

Deje $a, b, c, d$ ser números reales positivos tales que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4$, muestran que $$\frac {a^2}b + \frac {b^2}c + \frac {c^2}d + \frac {d^2}a \ge 4.$$

Yo:

$$\frac {a^2}b + \frac {b^2}c + \frac {c^2}d + \frac {d^2}a \ge a + b + c + d,$$

sin embargo, $$a + b + c + d \le \sqrt{4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)} = 4.$$

Por lo tanto, la aplicación directa de Cauchy-Schwarz desigualdad es demasiado débil. He intentado otros métodos, pero sin avances significativos:

$$(\frac {a^2}b + \frac {b^2}c + \frac {c^2}d + \frac {d^2}a)^2 \ge \frac {(a^{4/3} + b^{4/3} + c^{4/3})^3}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} = \frac {(a^{4/3} + b^{4/3} + c^{4/3})^3}4.$$

También he observado que

$$(\frac {a^2}b + \frac {b^2}c + \frac {c^2}d + \frac {d^2}a) + (\frac {a^2}c + \frac {b^2}d + \frac {c^2}a + \frac {d^2}b) + (\frac {a^2}d + \frac {b^2}a + \frac {c^2}b + \frac {d^2}c) + (\frac {a^2}a + \frac {b^2}b + \frac {c^2}c + \frac {d^2}d) = 4 (\frac 1a + \frac 1b + \frac 1c + \frac 1d) \ge 16,$$

desde $$\frac 1a + \frac 1b + \frac 1c + \frac 1d \ge \sqrt{\frac {(1 + 1 + 1 + 1)^3}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}} = 4.$$

Ahora mi trabajo puede parecer estúpido o fuera de tema aquí, pero puedo ofrecer aquí porque deseo alguno de estos intentos de llevar a una solución. Todas las sugerencias serán apreciados.

Answer 1

(Esto es en realidad desde el eliminado respuesta a una pregunta diferente, publicado aquí con permiso.)

De Cauchy-Schwarz: $$ \left(\frac {a^2}b + \frac {b^2}c + \frac {c^2}d + \frac {d^2} \right) \left( a^2 + b^2 c + c^2 d + c^2 \right) \ge (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 =16 $$ por lo tanto, es suficiente para mostrar que $$ \etiqueta{*} \left( a^2 + b^2 c + c^2 d + c^2 \right) \le 4 $$ El uso de Cauchy-Schwarz de nuevo: $$ \left( a^2 + b^2 c + c^2 d + c^2 \right)^2 \le (a^ 2+ b^2 + c^2 + d^2)(a^2b^2 + b^2 c^2 + c^ 2d^2 + d^2 a^2) \\ = 4 (a^2+c^2)(b^2+d^2) \\ \le 4 \left( \frac {a^2+b^2+c^2+d^2}{2} \right) ^2 = 16 $$ con AM-GM en el último paso. A partir de esta $(*)$ sigue.

Answer 2

Sólo otra forma es utilizar Titular : $$\left(\sum_{cyc} \frac{a^2}b \right)^2 \left( \sum_{cyc} a^2b^2\right) \geqslant \left( \sum_{cyc} a^2\right)^3=4^3$$

Por lo que sigue siendo para mostrar $$a^2b^2+b^2c^2+c^2d^2+d^2a^2 = (a^2+c^2)(b^2+d^2) \leqslant \frac14(a^2+b^2+c^2+d^2)^2 = 4 $$

Answer 3

Esto también puede ser mostrado usando la desigualdad de Jensen con $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x}}$ y pesos $\frac{a^2}{4}$, $\frac{b^2}{4}$, $\frac{c^2}{4}$, $\frac{d^2}{4}$, que en la asunción de la suma de uno de ellos.

\begin{align*} \frac {a^2}b + \frac {b^2}c + \frac {c^2}d + \frac {d^2}a &= 4 \left( \frac{a^2}{4}\frac{1}{\sqrt{b^2}} + \frac{b^2}{4}\frac{1}{\sqrt{c^2}} + \frac{c^2}{4}\frac{1}{\sqrt{d^2}}+ \frac{d^2}{4}\frac{1}{\sqrt{a^2}} \right) \\ &\geq 4 \left( \frac{1}{\sqrt{ \frac{a^2}{4} b^2 + \frac{b^2}{4} c^2 + \frac{c^2}{4} d^2 + \frac{d^2}{4} a^2} } \right) \end{align*}

Por lo que es suficiente para mostrar que \begin{equation} \frac{a^2}{4} b^2 + \frac{b^2}{4} c^2 + \frac{c^2}{4} d^2 + \frac{d^2}{4} a^2 \leq 1 \end{equation}

Este es el mismo punto final como la otra de las respuestas, que el factor y el uso de AM-GM para terminar.

$$\frac{a^2}{4} b^2 + \frac{b^2}{4} c^2 + \frac{c^2}{4} d^2 + \frac{d^2}{4} a^2 = \frac{1}{4} (a^2+c^2)(b^2+d^2) \leq \frac{1}{4^2}(a^2+b^2+c^2+d^2)^2 = 1 $$