¿Cantidades conservadas y derivadas totales?

Question

Estoy teniendo una pequeña crisis de comprensión de los significados físicos de los derivados totales.

Cuando una cantidad $\rho$ (sea un vector o un escalar ) se dice que es conservado entonces (matemáticamente) $$\frac{d\rho}{dt} = 0$$ (¿cierto?)

Ahora, si sólo integro ambos lados con respecto al tiempo obtengo $\rho$ = constante.

Pero la derivada total se puede escribir como (mediante la regla de la cadena) $$ \frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla\rho$$ donde ni siquiera estoy seguro de qué $\mathbf{u}$ es (¿la velocidad de un marco de referencia en movimiento?).

Dadas estas ecuaciones, si el primero tiene $\rho$ = constante como solución, entonces ¿cuál es el sentido de la derivada parcial y los gradientes? ¿Todos van a ser cero de todos modos?

¿Y qué es exactamente el significado físico de la derivada total? En dinámica de fluidos y física del plasma Me han dicho que describe cómo cambia una cantidad cuando se observa desde el marco "moviéndose con el fluido"...

Answer 1

Me parece que estás confundiendo una noción genérica de derivada total y la llamada Derivada lagrangiana (también conocido como material derivado ).

Empecemos desde cero. En coordenadas cartesianas, un fluido o un cuerpo continuo genérico es descrito en primer lugar por una clase de mapas diferenciables (suaves) de $\mathbb R^3$ a $\mathbb R^3$ : $$x=x(t,y)\:, \quad x \in \mathbb R^3\:.$$ Por cada $t\in \mathbb R$ el mapa $\mathbb R^3 \ni y \mapsto x(t,y) \in \mathbb R^3$ asocia el partícula con posición inicial $y$ con el posición $x$ de la la misma partícula en el momento $t$ .

Para cada fijo $t$ se supone que el mapa anterior es invertible con inversa diferenciable (suave), y los dos mapas $\mathbb R^3 \ni y \mapsto x(t,y) \in \mathbb R^3$ y $\mathbb R^3 \ni x \mapsto y(t,x) \in \mathbb R^3$ son conjuntamente suaves en todas las variables simultáneamente.

En el momento $t$ El velocidad de la partícula con posición inicial $y$ viene dada, por tanto, por: $$v_L(t,y) = \frac{\partial x}{\partial t}\:.$$ La fórmula anterior representa el campo de velocidades en el llamado Descripción lagrangiana Las cantidades físicamente relevantes, en un valor dado del tiempo, se consideran funciones del posición inicial de las partículas que forman el cuerpo continuo. Sin embargo, a menudo es más conveniente describir esta velocidad en función de la posición en el espacio en el momento $t$ . Obtenemos así el llamado Descripción euleriana del campo de las velocidades: $$v(t,x) := v_L(t,y(t,x))\:.$$ (No voy a hacer uso en un índice $E$ , asumiendo en adelante que lo que no es lagrangiano es automáticamente euleriano). $x$ es un punto dado en el espacio en el momento $t$ . En que cuando es atravesado por la partícula con posición inicial $y(t,x)$ .

En general, si $S$ es un campo tensorial (cartesiano) definido en el cuerpo continuo, tenemos dos representaciones. La lagrangiana $S_L(t,y)$ y la euleriana $S(t,x)$ donde, obviamente, $$S(t,x) = S_L(t,y(t,x))\quad \mbox{and}\quad S_L(t,y)= S(t,x(t,y))\:.$$ A veces es conveniente calcular la derivada de $S$ a lo largo de las historias de las partículas de cuerpo continuo mientras se representa el campo tensorial obtenido en Imagen euleriana .

Por ejemplo, el campo de aceleración es $$a(t,x)= \left.\frac{\partial }{\partial t} v_L(t,y)\right|_{y=y(t,x)}\:.$$ Nótese que la derivada del tiempo se calcula correctamente en la representación lagrangiana, ya que tenemos que seguir cada partícula por separado. El lado derecho de la identidad anterior se lee, sólo explotando los objetos eulerianos : $$a(t,x) = \frac{\partial v}{\partial t} + v \cdot \nabla_x v(t,x)\:.$$ (Es un ejercicio fácil establecer esa identidad a partir de las definiciones).

En general, el Derivada lagrangiana de un campo tensorial (representado en la imagen euleriana) $S(t,x)$ se define como: $$\frac{DS}{Dt} := \frac{\partial S}{\partial t} + v(t,x)\cdot \nabla_x S(t,x)\qquad(1)$$ Eso es lo que se dice: $$\left.\frac{DS}{Dt}(t,x)\right|_{x=x(t,y)}= \frac{\partial}{\partial t} S_L(t,y)\:,\qquad (2)$$ para que, la derivada lagrangiana no es más que una forma de calcular las derivadas temporales a lo largo de las historias de las partículas del cuerpo continuo que permanecen en la representación euleriana.

Nota: . Este Derivada lagrangiana es el que se llama derivado total pero su significado físico es muy preciso, como he ilustrado anteriormente. En el resto de este post sigo denotándolo por $D/Dt$ en lugar de $d/dt$ .

Vayamos a la ley de conservación de la masa . En primer lugar, tenemos que dotar a nuestro sistema continuo de una densidad de masa $\rho$ . Como antes, podemos adoptar una descripción euleriana o lagrangiana: $$\rho= \rho(t,x)\qquad \mbox{and}\quad \rho_L= \rho_L(t,y):= \rho(t,y(t,x))\:.$$ La afirmación más clara sobre la conservación de la masa es la siguiente.

Para cada porción (suficientemente regular) $V_L$ de la configuración inicial del cuerpo continuo, correspondiente a una porción $V_t$ en cada valor $t$ del tiempo , $$V_t = \{x \in \mathbb R^3 \:|\: x = x(t,y)\:, y \in V_L\}\:,$$ la masa incluida en $V_t$ no cambia en el tiempo: $$\frac{d}{dt} \int_{V_t} \rho(t,x) dx =0\:,\qquad(3)$$

Transformemos este requisito en el enunciado local equivalente. Pasando a la imagen lagrangiana, (1) se lee: $$\frac{d}{dt} \int_{V_L} \rho(t,x(t,y)) |J_t| dy =0$$ es decir $$\frac{d}{dt} \int_{V_L} \rho_L(t,y) |J_t| dy =0$$ donde $J_t$ es el determinante de la matriz jacobiana de elementos $\frac{\partial x_i}{\partial y_j}$ . Dado que en (2) $V_L$ no depende del tiempo y todo es regular (el integrando es suave y $V_L$ puede suponerse siempre acotada) podemos intercambiar el símbolo de la derivada y el de la integral (aprovechando esencialmente el teorema de convergencia dominada de Lebesgue): $$ \int_{V_L} \left(\frac{\partial}{\partial t}\rho_L(t,y)\right) |J_t| + \rho_L(t,y) \frac{\partial}{\partial t} |J_t| dy =0\:.$$ Es posible demostrar (en realidad no es tan sencillo), que $\frac{\partial}{\partial t} |J_t| = |J_t|\nabla_x \cdot v(t,x)|_{x=x(t,y)}$ . Usándolo en el LHS de la identidad encontrada y teniendo en cuenta (1) y (2), encontramos que (3) implica (de hecho es equivalente a): $$ \int_{V_L} \left( \left.\frac{D\rho}{Dt}\right|_{x=x(t,y)}+\rho_L(t,y) \left.\nabla_x \cdot v(t,x)\right|_{x=x(t,y)}\right) |J_t| dy =0\:.\qquad (4)$$ En otras palabras, volviendo a las variables eulerianas: $$ \int_{V_t} \frac{D\rho}{Dt}+\rho(t,x) \nabla_x \cdot v(t,x) dx =0\:.\qquad(5)$$ Forma (4) o (5), utilizando el hecho de que el integrando es continuo y $V_L$ o $V_t$ sustancialmente son arbitrarios, se infiere que la versión integral de la ley de conservación de la masa (3) es equivalente al requisito local en la formulación euleriana: $$\frac{D\rho}{Dt}+\rho(t,x) \nabla_x \cdot v(t,x) = 0 \qquad (6)\:.$$ Finalmente, haciendo uso de la definición de la derivada lagrangiana (1), dicha identidad puede ser planteada de forma equivalente como $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+ \nabla_x \cdot \rho(t,x) v(t,x) = 0 \qquad (7)\:.$$

Nota: . Un cuerpo continuo es incompresible si el medida de volumen $V_t$ de sus partes $V_L$ se mantiene constante a lo largo de su historia: $$\frac{d}{dt} \int_{V_t} dx =0\:.\qquad(3)'$$ Tratando como antes, se ve inmediatamente que es completamente equivalente decir que (bastaría con sustituir en todas partes $\rho$ para $1$ ) $$\nabla_x \cdot v(t,x) = 0 \qquad (6)'\:.$$ En consecuencia, la ley de conservación de la masa para un cuerpo continuo incompresible (6), se lee simbólicamente: $$\frac{D\rho}{Dt}=0\:. \qquad (8)$$ Esta es la ecuación que señalaste en el caso de la ley de conservación de la masa. Sin embargo, con esa interpretación, sólo es válida para cuerpos incompresibles, la general siendo la formulación (6)".

Para una cantidad genérica $\rho$ (incluso vectorial o tensorial), (8) dice simplemente que la cantidad es constante en el tiempo a lo largo de la historia de cada partícula del sistema, aunque esa constante puede depender de la partícula.

En aras de la exhaustividad, permítanme decir unas palabras sobre otra formulación popular de la ley de conservación de la masa. Partiendo de (7), integrando ambos lados en un volumen geométrico $U$ (por tanto, no una porción de cuerpo continuo, sino un volumen geométrico en reposo con el marco de referencia que estamos utilizando), tenemos: $$\int_U \frac{\partial \rho}{\partial t} dx = - \int_U \nabla_x \cdot \rho v(t,x) dx\:.$$ Así, el teorema de la divergencia conduce a la versión más popular de la ley considerada, cuyo significado se ilustra en otras respuestas a su pregunta, por lo que no gastaré ninguna palabra en ella: $$\frac{d}{dt}\int_U \rho(t,x) dx = - \int_{+\partial U} \rho v(t,x)\cdot n dS(x)\:,\qquad (9)$$ donde $n$ es el vector unitario exterior en $x\in \partial U$ .

Como observación final sobre la teoría de los cuerpos continuos, permítanme subrayar que la noción de derivada lagrangiana desempeña un papel crucial en el desarrollo de la teoría de los cuerpos continuos. Por ejemplo " $F=ma$ " tiene que ser escrito, para cada porción $V_L$ de cuerpo continuo, explotando la derivada lagrangiana: $$\frac{d}{dt}\int_{V_t} \rho(t,x) v(t,x) dx = F_{V_t}$$
es decir, con algunas manipulaciones elementales, teniendo en cuenta (6), $$\int_{V_t} \rho(t,x) \frac{Dv}{Dt}(t,x) dx = F_{V_t}\:.$$

Nota: . Cómo lidiar con Mecánica hamiltoniana existe una ley de conservación similar relativa a probabilidad cuando se estudian los conjuntos estadísticos, es decir, la mecánica estadística (hamiltoniana). En esa situación, en efecto, el teorema de Liouville establece que la evolución hamiltoniana preserva la volumen canónico del espacio de las fases . En otras palabras, se cumple (6)', donde $v$ es el campo de las velocidades hamiltonianas $(dq/dt,dp/dq)$ . En consecuencia, la ley de conservación de las probabilidades, descrita por la densidad de Liouville $\rho$ se puede enunciar en la versión más simple: $$\frac{D\rho}{Dt}=0\:,$$ que, a su vez, adoptando la notación estándar de la mecánica estadística hamiltoniana, se lee $$\frac{d\rho}{dt}=0\:,$$ y, eventualmente, puede reformularse en la célebre Ecuación de Liouville forma: $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \{\rho , H\}=0\:.$$

Answer 2

La idea básica

Físicamente la derivada total te dice cómo cambia una cantidad cuando está sometida a un campo de velocidad dependiente del espacio y del tiempo. En física solemos llamarla material derivado .

Un ejemplo intuitivo

Supongamos que $\rho(\mathbb{x},t)$ mide la temperatura de un fluido, según un termómetro sumergido en el punto $\mathbb{x}$ y el tiempo $t$ . Supongamos ahora que el termómetro se mueve a través del fluido, con el vector de posición $\mathbb{x}(t)$ .

Después de un pequeño tiempo $dt$ hay un cambio de posición correspondiente $d\mathbb{x}$ . El cambio de temperatura observado en el termómetro será

$$d\rho = \frac{\partial \rho}{\partial t}dt + \frac{\partial \rho}{\partial\mathbb{x}}\cdot d\mathbb{x}$$

Moralmente esto aproxima el cambio total como la tasa de cambio instantánea en cada dirección del espaciotiempo, multiplicada por el cambio correspondiente en el espaciotiempo.

Ahora dividiendo por $dt$ (que se puede hacer matemáticamente riguroso) se obtiene la fórmula habitual

$$\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial \rho}{\partial\mathbb{x}}\cdot \frac{d\mathbb{x}}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\rho\cdot\mathbb{u}$$

Cantidades conservadas

Decimos que $\rho$ se conserva (o es constante) a lo largo del flujo del fluido si

$$\frac{d\rho}{dt}=0$$

Integrando hacia arriba encontramos que

$$\rho(\mathbb{x}(t),t) = \rho(\mathbb{x}(t_0),t_0)$$

Como ha señalado Joce en su comentario, los diferentes caminos $\mathbb{x}(t)$ puede seguir teniendo diferentes valores para $\rho$ . La condición de conservación sólo dice que $\rho$ es constante a lo largo de cada trayectoria.

Tienes razón al pensar que esto no es muy interesante en la actualidad. Pero es una noción útil cuando se combina con otras leyes físicas de conservación.

Una aplicación física

Una de ellas es la conservación de la masa. Es fácil derivar esto y ver dónde entra la derivada total. Tomemos $\rho(\mathbb{x},t)$ para ser la densidad del fluido. Entonces la masa total del fluido en un volumen $V$ es

$$M = \int_V \rho\ dV$$

Cada segundo, se pierde masa a través de la frontera de $V$ . Llama a este límite $S$ . Este cambio de masa viene dado por

$$\delta M = -\int_S \rho \mathbb{u}\cdot\mathbb{n}\ dS$$

Uniendo estos datos obtenemos

$$\frac{d}{dt}\int_V \rho \ dV = -\int_S \rho \mathbb{u}\cdot\mathbb{n}\ dS$$

Utilizando el teorema de la divergencia en el lado derecho y el hecho de que $V$ se fija en el espacio en el LHS obtenemos

$$\int_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV = -\int_V\nabla\cdot(\rho \mathbb{u})\ dV$$

Pero $V$ era arbitraria por lo que obtenemos

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbb{u}) = 0$$

Se puede reescribir esto en términos de una derivada total (ejercicio) y obtener

$$\frac{d\rho}{dt}+\rho\nabla\cdot\mathbb u = 0$$

Por tanto, si la densidad se conserva (es decir, es constante a lo largo del flujo), entonces sabemos por la conservación de la masa que

$$\nabla\cdot\mathbb{u} = 0$$

Esta es la condición para que un fluido sea incompresible . Intuitivamente eso suena bien.

Tenga en cuenta que un fluido incompresible no tiene por qué tener una densidad uniforme en todas partes. Sólo tiene que ser constante a lo largo del flujo. Véase también Wikipedia .

Más información

Si quiere saber más sobre las aplicaciones de los derivados materiales, le sugiero que intente leer estos Notas de la conferencia.

Answer 3

Consideremos una función $f$ que depende del tiempo $t$ , posición $q$ y el impulso $p$ . Esto es sólo un ejemplo relacionado con la física lagrangiana en cuanto a las notaciones.

Se quiere medir la variación de $f(t,q,p)$ con respecto al tiempo. Sabemos que $f(t,q,p)$ tiene una dependencia explícita del tiempo pero nada mantiene $q$ y $p$ depender también del tiempo. Entonces se puede diferenciar $f$ : $$ \mathrm d f(t,q,p) = \frac{\partial f}{\partial t} \mathrm d t +\frac{\partial f}{\partial q} \mathrm d q +\frac{\partial f}{\partial p} \mathrm d p $$ La derivada total de $f(t,q,p)$ es entonces: $$ \frac{\mathrm d f}{\mathrm d t}(t,q,p) = \frac{\partial f}{\partial t} +\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\mathrm d q}{\mathrm d t} +\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\mathrm d p}{\mathrm d t} $$ donde $\partial$ denota las derivadas parciales y $\mathrm d$ denota los derivados totales.

Las cosas que uno puede deducir cuando un total derivado o un parcial derivada es igual a cero son diferentes.

Si $\frac{\mathrm d f}{\mathrm d t} = 0$ entonces $f$ es una cantidad conservada que no depende del tiempo. Si $\frac{\partial f}{\partial t} = 0$ entonces $f$ no es necesariamente una cantidad conservada, pero se puede decir que $f$ no tiene explícito dependencia del tiempo. Esas dos conclusiones no son las mismas, y obviamente: $$\frac{\mathrm d f}{\mathrm d t} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial t} = 0$$

La expresión que has dado para la derivada total, necesita alguna precisión adicional. La función $\rho$ depende del tiempo y de las coordenadas espaciales (digamos dos, pero se permite cualquier número). Usando las expresiones que he dado se obtiene $$ \frac{\mathrm d \rho}{\mathrm d t}(t,x,y) = \frac{\partial \rho}{\partial t} +\frac{\partial \rho}{\partial x}\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t} +\frac{\partial \rho}{\partial y}\frac{\mathrm d y}{\mathrm d t} $$ uno puede darse cuenta de ello: $$ \nabla \rho = \frac{\partial \rho}{\partial x} \pmb x + \frac{\partial \rho}{\partial y} \pmb y $$ Si definimos $$\pmb u = \frac{\mathrm d x}{\mathrm d t} \pmb x+ \frac{\mathrm d y}{\mathrm d t} \pmb y $$ Entendemos la expresión que has escrito: $$ \frac{\mathrm d \rho}{\mathrm d t}(t,x,y) = \frac{\partial \rho}{\partial t} +\pmb u \cdot \nabla \rho $$ entonces $\pmb u$ es simplemente la derivada temporal del vector de posición $\pmb r = x(t) \pmb x + y(t) \pmb y$

En dinámica de fluidos $x(t)$ y $y(t)$ suelen ser funciones del tiempo, entonces si se quiere tomar una derivada del tiempo, hay que tener en cuenta la dependencia temporal de $x$ y $y$ . Físicamente, una derivada total es una derivada que tiene en cuenta todas las dependencias temporales.

Answer 4

Las leyes de conservación se expresan en la forma $$ \frac{\partial q}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbb T =0\tag{1} $$ para alguna cantidad $q$ . Aquí, el término $\mathbb T$ depende de qué la cantidad $q$ es; para el Ecuaciones hidrodinámicas de Euler lo sería: $$ \mathbb T=\begin{cases}\rho\mathbf u & q=\rho \\ \rho\mathbf{uu}^T+p\mathbb{I} & q=\rho\mathbf u \\ \left(E+p\right)\mathbf u & q=E\end{cases} $$ donde $p$ es la presión total, $\mathbf u$ la velocidad del fluido, $\mathbb I$ es la matriz de identidad, y $E$ la energía total.

El significado físico de la ley de conservación es que cualquier cantidad de $q$ que cambia en el tiempo (el $\partial_tq$ término) depende de la cantidad que sale o entra en un volumen $V$ (el $\nabla\cdot\mathbb T$ término).

• Si no sale ni entra nada ( $\nabla\cdot\mathbb T=0$ ), entonces $\partial_tq=0$ por necesidad.
• Si $q$ es constante en el tiempo ( $\partial_tq=0$ ), entonces $\nabla\cdot\mathbb T=0$ por necesidad.

Hay dos maneras de ver la hidrodinámica: el enfoque euleriano y el lagrangiano. Lo más fácil es imaginarlos utilizando la analogía de un barco flotando en un río:

1. De pie junto al río (euleriano)
2. De pie en la barca en el río (Lagrangiano)

La diferencia entre ellos es que el enfoque lagrangiano (que utiliza la derivada total/material) describe la evolución dinámica de la cantidad $q$ _a lo largo de su ruta de acceso_ . El enfoque euleriano (que utiliza la ecuación (1) anterior) describe la evolución dinámica de la cantidad $q$ a través de algún volumen de control $V$ .