Integral de cierre de $\mathbb{Q}[X]$ $\mathbb{Q}(X)[Y]$

Question

Consideremos el anillo de $\mathbb{Q}[X]$ de los polinomios en la $X$ con coeficientes en el campo de los números racionales. Considerar el cociente de campo $\mathbb{Q}(X)$ y deje $K$ ser finito extensión de $\mathbb{Q}(X)$ $K:=\mathbb{Q}(X)[Y]$ donde $Y^2-X=0$.

Deje $O_{K}$ ser la integral de cierre de $\mathbb Q[X]$$K$. Ciertamente, $O_{K}$ contiene $\mathbb{Q}[X]$$Y$, por lo tanto $$ O_{K}\supseteq \mathbb{Q}[X][Y]$$ Mi conjetura es que en realidad "=" tiene. Cómo puede ser probado esto?

Answer 1

Sí, tu suposición es correcta.

La clave de la explicación es escribir $Y=\sqrt X$, un cambio psicológico de la notación que pone de manifiesto que en realidad $\mathbb Q[X][Y]=\mathbb Q[\sqrt X]=\mathbb Q[Y]$ y $\mathbb Q(X)[Y]=\mathbb Q(X)[\sqrt X]=\mathbb Q(\sqrt X)=\mathbb Q(Y)$.

El reverso de inclusión que está después de la $ O_{K}\subseteq \mathbb{Q}[X][Y]$ es bastante claro : una función racional $f(Y)\in K=\mathbb Q(\sqrt X)=\mathbb Q(Y)$ integral $\mathbb Q[ X]$ es a fortiori integral sobre la $\mathbb Q[\sqrt X]=\mathbb Q[Y]$, de modo que, como usted desea, $f(Y)\in \mathbb Q[Y]$, ya que el $\mathbb Q[Y]$ es integralmente cerrado en $\mathbb Q(Y)$.

Answer 2

Vamos a ver ${\bf Q}\rm (x)[y]/(y-x^2)$${\bf Q}\rm(x)[x^{1/2}]$. Set ${\bf Q}\rm(x)[x^{1/2}]\subseteq{\bf Q}\rm(x^{1/2})$ y observar

$$\rm \frac{1}{p(x)+x^{1/2}q(x)}=\frac{p(x)-x^{1/2}q(x)}{p(x)^2-x~\,q(x)^2}\in{\bf Q}(x)[x^{1/2}].$$

Dado que todos los $\rm f(x^{1/2})\in{\bf Q}[x^{1/2}]$ puede ser escrito como $\rm p(x)+x^{1/2}q(x)$, lo anterior se establece que cualquier función racional en $\rm x^{1/2}$${\bf Q}(x)[x^{1/2}]$, lo que en realidad podemos decir que el $\rm{\bf Q}(x)[x^{1/2}]={\bf Q}(x^{1/2})$.

Por lo tanto, queremos encontrar la integral de cierre de ${\bf Q}[x]$ dentro ${\bf Q}(x)[y]\cong{\bf Q}(x^{1/2})$. Dado cualquier polinomio en el último $\rm a:=p(x)+x^{1/2}q(x)$ usted puede encontrar un polinomio en la variable $T$ con coeficientes de ${\bf Q}[x]$ $\rm a$ es una raíz de (hacer una ecuación cuadrática a partir de las raíces $\rm p(x)\pm x^{1/2}q(x)$); esto muestra la primera inclusión $\rm{\bf Q}[x^{1/2}]\subseteq {\cal O}_{{\bf Q}(x^{1/2})}$, ahora quiere el reverso de la inclusión.

Supongamos que tenemos una $\rm a(x^{1/2})/b(x^{1/2})\in{\bf Q}(x^{1/2})\setminus {\bf Q}[x^{1/2}]$, y deje $\rm \pi(x^{1/2})$ ser un factor irreducible de el denominador $\rm b(x^{1/2})$ valoración $\rm e$ ($\rm\pi(x^{1/2})^e\mid b(x)$ pero $\rm\pi(x^{1/2})^{e+1}\nmid b(x)$.) Ahora vamos a $\rm f(T)$ ser un polinomio en $\rm {\bf Q}[x][T]$ tal que $\rm f(a/b)=0$; claro denominadores para mostrar que tenemos algo que es $\rm\ne0\bmod \pi(x^{1/2})$ igual a $0$, imposible.

Ver aquí para el (probablemente la más fácil de digerir) número de campo análogo de esta línea de razonamiento (a través de la compensación denominadores para llegar a una congruencia contradicción). Como un aparte, tanto en los campos de número y función de los campos de disfrutar de la fracción parcial de la descomposición - en el primer caso se codifica en la Prufer factorización ${\bf Q}/{\bf Z}\cong\bigoplus{\bf Z}(p^\infty)$ (un caso especial de $p$-primaria descomposición de abelian grupos), donde el Prufer $p$-grupos se ${\bf Z}(p^\infty)\cong{\bf Q}_p/{\bf Z}_p\cong{\bf Z}[p^{-1}]$ (es decir, racionales con $p$-potencia denominadores modulo de los enteros en virtud de la adición).