Una expresión de potencia infinita

Question

He aquí una expresión que me cuesta evaluar: $$\LARGE {\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\:\cdot^{\:\cdot^{\:\cdot}}}}}} $$

El valor resulta ser $2$ pero no entiendo cómo lo conseguimos. ¿Alguien puede dar la solución?

EDIT: El problema original es el siguiente:

Si $y(x)= { x }^{ { x }^{ { x }^{ { x }^{. } } } }$ , entonces evalúa $y(\sqrt { 2 })$ .

Answer 1

Considere la secuencia $\{0,1,\sqrt{2},\sqrt{2}^{\sqrt{2}},\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}},\ldots\}$ . En otras palabras, la secuencia con $a_0=0$ y $a_{n+1}=\sqrt{2}^{a_{n}}$ .

Tenga en cuenta que $a_0<2$ . Supongamos que para algunos $n$ que $a_n<2$ . Entonces $a_{n+1}=\sqrt{2}^{a_n}<\sqrt{2}^2=2$ . Así que por inducción, $a_n<2$ para todos $n$ .

Tenga en cuenta que $a_0<a_1$ . Supongamos que para algunos $n$ que $a_{n-1}<a_n$ . Entonces $\sqrt{2}^{a_{n-1}}<\sqrt{2}^{a_n}$ Así que $a_n<a_{n+1}$ . Así que por inducción, $a_n<a_{n+1}$ para todos los valores de $n$ . En otras palabras, la secuencia es creciente.

Entonces tenemos que esta secuencia es creciente y acotada por encima. Por tanto, converge a algún límite $L$ . Esto significa que $$\begin{align} a_{n+1}&=\sqrt{2}^{a_n}\\ \lim_{n\to\infty}a_{n+1}&=\lim_{n\to\infty}\sqrt{2}^{a_n}\\ L&=\sqrt{2}^L\\ \end{align}$$

Por concavidad, sólo hay dos soluciones para esta ecuación, y afortunadamente es fácil identificar ambas: $L=2$ o $L=4$ . Pero $L$ no puede ser $4$ ya que la secuencia estaba acotada por $2$ .

Así que esto establece que $\lim_{n\to\infty}a_{n}$ existe y que su valor es $2$ .

Answer 2

Realmente se desea resolver para $x$ en la expresión siguiente $$x^{x^{x^x…}}=2, $$ donde $x$ exponen una cantidad infinita. Una forma de abordarlo sería notar $$\log_x( x^{x^{x^x…}})=\log_x(2)\rightarrow x^{x^{x^x…}}=\log_x(2). $$ Pero sabemos que $x^{x^{x^x…}}=2 $ Por lo tanto, $$2=\log_x(2)\rightarrow x^2=2$$ y por lo tanto $$\boxed{x=\sqrt{2}}. $$

Esta es una buena manera de mostrarlo. Ciertamente no es una prueba rigurosa porque realmente podrías realizar el paso del logaritmo tantas veces como quieras y obtener diferentes soluciones. Pero, en mi opinión, ayuda a la comprensión básica.

Answer 3

Dejemos que $x=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}}$ entonces $x=\sqrt{2}^x$ o $x=2^{x/2}$ es decir, $x^2=2^x$

Answer 4

Si tenemos un número infinito de potencias anidadas entonces podemos decir

$$v=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}...}}}=\sqrt{2}\,^v$$

Lleva el tronco a base 2.

$$lg(v)=v\,lg(\sqrt{2})$$

y

$$\frac{lg(v)}{v}=lg(\sqrt{2})=\frac{1}{2}lg(2)$$

Y esto nos lleva $v=2$