Cálculo 3 Problema ofertas parciales

Question

Una partícula se desplaza a lo largo de la curva que se encuentra tanto en el hyperboloid $x^2 + y^2 − z^2 = 1$ y el avión $x + y + z = 0$. Cuando llega a la punto de $(\frac23, −\frac34, \frac1{12})$ que vuela por la tangente, y a partir de entonces viaja a lo largo de una línea recta, hasta que llegue el paraboloide $99z = 64y^2 − 81x^2$ . De dónde viene la partícula golpear el paraboloide?

Así que pensé que para resolver el plano para cada variable, a continuación, conectar a la hyperboloid. Sin embargo no estoy siquiera seguro de que iban a comenzar, por favor ayuda...

Answer 1

Sugerencia: el vector de dirección de que la partícula se va volando en debe ser perpendicular tanto al vector normal de $x^2+y^2-z^2=1$ $\left(\frac{2}{3}, - \frac{3}{4}, \frac{1}{12} \right)$ y el vector normal de $x+y+z=0$$\left(\frac{2}{3}, - \frac{3}{4}, \frac{1}{12} \right)$.

Answer 2

Desde $z=-(x+y)$ desde el avión, podemos sustituir en la hyperboloid ecuación para obtener

$$x^2 + y^2 - (-x-y)^2 = 1$$

$$x^2 + y^2 - x^2 -y^2 -2xy = 1$$

$$xy = -1/2$$

$$y = \frac{-1}{2x}$$

Así que el conjunto de $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ que están en esta intersección del plano y hyperboloid es una curva parametrizada por $$x(t) = t$$

$$y(t) = \frac{-1}{2t}$$

$$z(t) = \frac{1}{2t}-t=\frac{1-2t^2}{2t}$$

Como comprobación, asegúrese de que $(2/3, -3/4, 1/12)$ es en esta curva (es).

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Tenemos un vector función de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^3$: $$f(t) = (x(t), y(t), z(t)) = \left(t, \frac{-1}{2t}, \frac{1-2t^2}{2t}\right)$$

Ahora podemos encontrar $f'(t)$:

$$f'(t) = \left(1, \frac{1}{2t^2},-\frac{2t^2+1}{2t^2}\right)$$

El $t$ que $f(t) = (2/3, -3/4, 1/12)$ es simplemente la $x$-coordinar, o $t=2/3$. Así que tenemos que encontrar $f'(2/3)$:

$$f'\left(\frac{2}{3}\right) = \left(1,\frac{9}{8}, -\frac{17}{8}\right)$$

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Así tenemos que la partícula de seguir una línea con la dirección del vector $f'(2/3)$, que pasa a través del punto de $f(2/3)$.

Usted debe ser capaz de encontrar una ecuación de esta línea. Entonces usted será capaz de encontrar donde se intersecta con el paraboloide.

Espero que esta ayuda :)