Esto no sería posible en el ordinario de la lógica de primer orden, porque no importa lo que los axiomas decir acerca de $R\in R$, es necesariamente un bien formado fórmula.
Pero hay más problema conceptual aquí: Si usted está definiendo $R$ como "el conjunto que consta de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos", ya está implícitamente asumiendo que tiene sentido preguntar de cualquier establecer si es o no contiene en sí, y obtener una respuesta definitiva-porque esa pregunta es lo que usted desea utilizar como la definición de la propiedad de $R$. No puede, entonces de repente la vuelta y decir que usted puede pedir cualquier juego si es un miembro de sí misma, pero no se puede pedir es de $R$.
Si necesita cambiar algo, tienes que cambiar la lógica subyacente no son dos valores más. Aun así, cada vez que la lógica permite afirmar (en virtud de un cuantificador) que de dos (generalizada) de verdad los valores son iguales, y de alguna manera se puede construir una verdad de la función que no tiene puntos fijos, de la paradoja de Russell será recreatable en esa lógica.
Para editar una respuesta alternativa:
No estoy seguro de cómo se defina una versión de la teoría de conjuntos, pero a mí me parece como que algo como esto podría ser esencialmente equivalente a la Ingenua Teoría de conjuntos "normal" sets, mientras que desactivando ciertos tipos de declaraciones acerca de "patológico" conjuntos.
En cierta medida, esto se hace en Morse-Kelley teoría de conjuntos. Allí, su "patológico conjuntos" son llamados adecuada clases, y tienen la restricción de que no está permitido poner tener una clase adecuada a la izquierda de $\in$. (O si lo hace, el resultado es siempre considerada "falsa").
Usted obtener "sin restricciones" la comprensión de que usted está autorizado a hacer una recopilación de todas las normales de los conjuntos que satisfacen cualquier condición que usted puede escribir, pero a veces el resultado resulta ser "patológico".
Por lo tanto, se puede definir $R$ como la colección de todas las normales de los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Usted no consigue $\forall x(x\in R\leftrightarrow x\notin x)$, pero usted consigue
$$ \forall x\in \mathit{NormalSets}\,(x\in R\leftrightarrow x\notin x) $$
Sin embargo, es discutible si esto realmente implementa su programa, porque en Morse-Kelley, las condiciones para una colección para ser un "set" son más o menos de la misma como las condiciones para un conjunto a existe en ZFC. Así que no hay mucho más que usted puede realmente hacer con la flexibilidad.
