No se puede encontrar el $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sin x-\cos x} \, dx$

Question

Se me pide que encuentre:

$$\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sin x-\cos x} \, dx$$

He intentado:

$$A=\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x+\cos x}{\sin^2 x-\cos^2 x} \, dx$$ $$A=\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x}{2\sin^2 x-1} \, dx + \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{1-2\cos^2 x} \, dx$$ $$u=\sin x$$ $$du=\cos x\,dx$$ $$v=\cos x$$ $$dv=-\sin x \,dx$$ $$A=\int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{du}{2u^2-1} \, dx + \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{dv}{2v^2-1} \, dx$$

Pero soy incapaz de avanzar.

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\sin(x)-\cos(x)=\sqrt 2 \sin(x-\pi/4)$$

e integrar la función cosecante.

Si usted desea proceder como en el OP, entonces tenemos

$$\begin{align} \int_0^{\pi/6}\frac{1}{\sin(x)-\cos(x)}\,dx&=\int_0^{\pi/6}\frac{\sin(x)+\cos(x)}{\sin^2(x)-\cos^2(x)}\,dx\\\\ &=\int_1^{\sqrt 3/2}\frac{1}{2u^2-1}\,du+\int_0^{1/2}\frac{1}{2v^2-1}\,du\\\\ &=\frac12 \int_1^{\sqrt 3/2}\left(\frac{1}{\sqrt 2 u-1}-\frac{1}{\sqrt 2 u+1}\right)\,du+\frac12 \int_0^{1/2}\left(\frac{1}{\sqrt 2 v-1}-\frac{1}{\sqrt 2 v+1}\right)\,dv\\\\\ \end{align}$$

Se puede terminar ahora?

Answer 2

Si nada más funciona, siempre hay el "universal trigonométricas sustitución" $t=\tan\frac{x}{2}$, porque entonces, debido a identidades trigonométricas, $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, y (en caso de) $\tan x=\frac{2t}{1-t^2}$. Que le llevará a la esfera de la integración de funciones racionales, para la que no hay un estándar (aunque largo) algoritmo.

Answer 3

\begin{align} & \int_0^{\pi/6} \frac{\sin x}{2\sin^2 x-1} \, dx = \int_0^{\pi/6} \frac{\sin x}{1 - 2\cos^2 x} \, dx & & \text{since }\sin^2 x = 1-\cos^2 x \\[15pt] = {} & \int_1^{\sqrt 3/2} \frac{-dw}{1-2w^2} = \int_1^{\sqrt 3/2} \frac{-dw}{\left( 1 - w\sqrt 2\right)\left( 1 + w\sqrt2\right)} & & \text{and then use partial fractions.} \end{align}