Que $p$-los grupos pueden ser de Sylow p-subgrupos con trivial intersección?

Question

Cada ciclo p-grupo es un Sylow p-subgrupo de un grupo finito cuyos distintos Sylow p-subgrupos se cruzan trivialmente en pares (y hay al menos un par de ellos).

Por ejemplo, supongamos q ser un primer congruente con 1 mod p y, a continuación, el grupo $\operatorname{AGL}\left(1, q\right)$ es un grupo. Este es el normalizador de Sylow p-subgrupo en el grupo simétrico de p puntos y puede ser descrito como el conjunto de transformaciones afines de una línea sobre el campo de q elementos:

$$\operatorname{AGL}\left(1, q\right) = \left\{ x \mapsto ax + b \mid a, b \in \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}, ~~a \ne 0 \right\}.$$

Su Sylow p-subgrupos son los subgrupos cíclicos P_b generado por x → zx + b, donde z es una primitiva de pth raíz de la unidad en Z/qZ. Se cruzan trivial, ya que P_b hojas de b/(1−z) por sí sola, sino que se mueve cada otro punto.

Puedo manejar unos de otros casos (cuaterniones, primaria abelian), pero no he encontrado una (correcto) método general. Yo estaba un poco sorprendido semi-directo de los productos con los fieles (incluso irreductible) módulos fue insuficiente.

Que p-son los grupos de Sylow p-subgrupos de grupos finitos, cuyo distintos Sylow p-subgrupos se cruzan trivialmente en pares, y hay al menos un par?

En otras palabras, a pesar de que cada par de distinta Sylow p-subgrupos de P intersecta trivialmente, lo hace vacuously sin pares. Para cada p-grupo P, quiero un grupo finito G , con más de un Sylow p-subgrupo de $P$ donde $P\cap P^g$ $\{ 1, P \}$ todos los $g\in G$.

Answer 1

Aquí están mis notas, ya que me gusta bastante explícita respuestas.

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En caso de que alguien quiere ver el resto de los ejemplos más brevemente:

Primaria abelian p-grupos de orden pⁿ se encuentran TI en PSL(2,pⁿ). Dichos subgrupos se identifican por que el subespacio se estabilizan.

Cuaterniones de 2 grupos se encuentran TI en el semi-directo de los productos con su (único) de fiel irreductible módulo a través de un primer campo de orden impar. El punto clave es que el único elemento de orden 2 actos de punto fijo-libremente en el módulo, y así no se encuentra en la intersección de dos distintas Sylow 2-subgrupos.

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Una más débiles pregunta tiene una respuesta positiva:

Para todo p-grupo P hay un grupo finito G tal que para algunos de g en G, P ∩ P^g = 1?

Sí. Para cualquier p-grupo P, tomar G a la semi-producto directo de P con una buena cantidad de fieles módulo V sobre un campo finito de característica no p. A continuación, considere la posibilidad de la unión de C_V(x) como x varía con el P. Puesto que V es fiel, cada centralizador es un buen subespacio, y si V tiene lo suficientemente grande dimensión, no puede ser escrito como la unión de |P| adecuado subespacios. Si v es un elemento de V fuera de la unión de centralizadores, entonces P ∩ P^v = 1.

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Para p = 2, la clasificación se debe a Suzuki (1964) quien descubrió su familia infinita de finitos simples grupos en esta misma línea de investigación. No sólo él clasificar el, posiblemente, P, sino también la posible G. Vamos a N de ser el más grande de los impares en orden subgrupo normal de G.

• P es cíclico y G = P ⋉ N
• P es de cuaterniones de orden 8, y sea G = P ⋉ No G / N ≅ SL(2,3)
• P es generalizada cuaterniones y G = P ⋉ N
• P es elemental abelian de orden 2ⁿ y PSL(2,2ⁿ) ≤ G / N ≤ PΓL(2,2ⁿ)
• P es la Sylow 2-subgrupo de la fuente de alimentación(3,2ⁿ) y de la fuente de alimentación(3,2ⁿ) ≤ G / N ≤ PΓU(3,2ⁿ) - P es una especie de GF(2ⁿ), la versión de los cuaterniones grupo de orden 8.
• P es la Sylow 2-subgrupo de Sz(2ⁿ) y G / N = Sz(2ⁿ)

En otras palabras, me he perdido dos infinito familias (y un sistema de fusión). La estructura de N es restringido, pero no creo que no clasificado. En cierto sentido, uno debe leer esta lista como "existe un N tal que...".

La clasificación para las impares de p parece ser un post-CFSG resultado, y está estrechamente relacionado fuertemente arraigado subgrupos (similar al concepto de Arturo menciona a continuación: malnormal). La fuertemente arraigado lista en la página 383 - 384 del número 3 de la GLS valoración crítica de la CFSG. La TI de la lista es en Blau-Michler (1990), sino que se basa en listas anteriores aún no la he localizado.

Otro de cíclico y primaria abelian, hay un par más infinitamente familias, y algunas esporádicas excepciones.

Bibliografía:

• Suzuki, Michio. "Grupos finitos de orden en el que Sylow 2-los grupos son independientes." Ann. de Matemáticas. (2) 80 (1964) 58-77. MR162841 DOI:10.2307/1970491

• Blau, H. I.; Michler, G. O. "Modular de la teoría de representaciones de grupos finitos con T. I. Sylow p-subgrupos". Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 319 (1990), no. 2, 417-468. MR957081 DOI:10.2307/2001249

Answer 2

Su pregunta puede reformularse de la

que $p$-grupos aparecen como no normales, T. I. Sylow $p$-subgrupos?

A un lado: T. I. es el acrónimo de "trivial intersección". Un trivial intersección es uno que se cruza con cada uno de sus conjugados totalmente o trivialmente. Estos han sido estudiados activamente, porque los grupos que han T. I. conjuntos se presentan algunos interesantes representación teórica del comportamiento (ver, por ejemplo, el Capítulo 7 de Isaacs). Estoy seguro de que Jack sabe todo esto, estoy escribiendo esto para el beneficio de otros lectores. [/Aparte]

Creo que el Lema 1.1, y las Proposiciones 1.2 y 1.3 de este documento responder a su pregunta. Esencialmente, $P$ es cíclico, o generalizada de cuaterniones, o la cuestión se reduce a T. I. Sylow $p$-subgrupos de simple grupos en virtud de la Proposición 1.2 (b), (d) y (h). Es decir, (h) y (b) decir que suele ser $P\leq U$, y, a continuación, (d) se reduce todo a simple grupos (cociente de la $p'$-core, por lo que el isomorfismo de la clase de la $p$-Sylow no cambia). En ese punto, uno se tiene que ir a través de la clasificación, que se realiza en la Proposición 1.3.