Esta respuesta no es de la forma que usted pidió, pero estoy publicando porque me ha sido muy útil para mí. Me disculpo si este es el tipo de respuesta que usted está tratando de evitar.
Vamos a empezar con una situación muy específica. Deje de $G$ ser el grupo de isometría del plano $E$. Si tienes que elegir un punto de $x$, las rotaciones alrededor de $x$ forman un subgrupo de $G_x$ de $G$. Si usted escoge a dos puntos diferentes de $x$ y $y$, se obtiene dos subgrupos $G_x$ y $G_y$. Estos subgrupos son diferentes, pero no se sienten realmente diferente, porque se puede convertir uno en el otro simplemente cambiando su punto de vista: si cambio el avión por una isometría que pone de $x$, donde $y$, entonces $G_x$ se convierte en el subgrupo de $G_y$ solía ser. En otras palabras, $G_x$ y $G_y$ no son realmente diferentes, porque hay una isometría $g \in G$ que hace que el diagrama de
$$\requieren{AMScd}
\begin{CD}
E @>G_x>> E \\
@VgVV @VVgV \\
E @>>G_y> E
\end{CD}$$
de camino al trabajo. (En este diagrama, cada flecha representa un conjunto de isometrías, con $E \desbordado{g}{\longrightarrow} E$ denota el singleton $\{g\}$, y componer flechas significa componer todos los pares de isometrías.)
Ahora, para ser completamente general, creo que de cualquier grupo $G$ como un grupo de "permitido simetrías" de algún objeto-en otras palabras, un subgrupo de $\operatorname{Aut} X$ para algún objeto $X$. (Esto es completamente general, ya que podemos tomar de $X$ de $G$ a sí mismo con la izquierda, la multiplicación de la acción. Tal vez más de manera satisfactoria, podemos hacer que $X$ de un gráfico si $G$ es finito, un árbol si $G$ es libre, una eficaz Klein geometría si $G$ es un grupo Mentira...)
Una vez más, incluso si los dos subgrupos de $G$ son diferentes, que no se sienten muy diferentes si se puede convertir uno en el otro con sólo mirar a $X$ desde un punto de vista diferente. En otras palabras, dos subgrupos $H, \tilde{H} < G$ en realidad, no son diferentes si hay una simetría $g \in G$ de $X$, que hace que el diagrama de
$$\requieren{AMScd}
\begin{CD}
X @>H>> X \\
@VgVV @VVgV \\
X @>>\tilde{H}> X
\end{CD}$$
de camino al trabajo. Esto, por supuesto, es la definición de conjugacy.
Este punto de vista, por cierto, es mi favorita de la motivación para la idea de la normalidad: un subgrupo normal es una clase de simetrías que no depende de su punto de vista. Si cambio el avión por una isometría, por ejemplo, su noción de lo que cuenta como una horizontal traducción puede cambiar, pero su noción de lo que cuenta como una traducción no. Horizontal traducciones forma no-normal subgrupo, mientras que las traducciones forman un subgrupo normal.
