Generalizada PNT en el límite de los números grandes

Question

Si $\pi_k(n)$ es la cardinalidad de los números con k factores primos (repeticiones incluido) menor o igual a n, la generalizada del Teorema de los números Primos (GPNT) es:

$$\pi_k(n)\sim \frac{n}{\ln n} \frac{(\ln \ln n)^{k-1}}{(k-1)!}.$$

El aspecto cualitativo de la distribución real de las $\pi_k(n)$ para k = 1,2,3,..., concuerda muy bien con la GPNT, para los números de $n$ dentro de alcance de mi laptop. Pero me di cuenta de que como $n$ $k$ obtener grandes, "la mayoría" de los números de menos de $n$ parece tener relativamente pocos factores.

Escrito $n = 2^m$ y la sustitución de $k$ $x$ podemos gráfico

$$f(x) =\frac{2^m (\ln\ln 2^m)^{x-1}}{\ln 2^m (x-1)!}$$

de $x = 1$ $m$(ya que no hay ningún número tiene más de m factores) y ver que es relativamente pequeño fijo $m$, la mayor parte de el área bajo la curva de f está contenida en una pronunciada curva en forma de campana en el extremo izquierdo de la imagen.

Aprovecho esto para sugerir que consideramos como muy grandes conjuntos, $S_m = \{ 1,2,3,...,2^m\},$ casi todos los elementos de estos conjuntos tienen una "muy pequeña" número de factores (incluyendo repeticiones).

Puede que esta idea sea (o haya sido) cuantificado? La frase "muy pequeño" es frustrante, y creo que podría ser capaz de decir algo más concreto acerca de, por ejemplo, la concentración de la proporción de área como una función de x y m...? Gracias por cualquier sugerencia.

Edit: la respuesta de Eric Naslund dio a continuación es espléndida y yo no abandono a aceptarlo. En respuesta a la respuesta, me pregunto si hay alguna razón para no ser capaz de conseguir algo así como la respuesta de la expresión $f(x)$?

Después de todo, $f(x)$ parece ser una de Poisson como curva con una media de cerca de la media del número de factores primos. Si me supongamos que m = 100 y 500 (es decir, estamos utilizando $2^{100},2^{500}$), $f'(x) = 0$ en $x \approx 4.73, 6.34$, respectivamente, mientras que $\ln\ln 2^m$ respectivamente, 4.23, 5.84. Si f es una expresión válida para el comportamiento asintótico de $\pi_k(n)$, no esperamos que se nos dé la información adicional? No podemos demostrarlo?

Answer 1

Esta es una gran pregunta. Ha habido un montón de trabajo por hacer con respecto a la distribución del número de factores primos de la función, y el más famoso de los cuales es el Erdos Kac Teorema, el cual establece que el número de factores primos es, de hecho, se distribuye normalmente.

Podemos preguntar, ¿cuál es el promedio del número de factores primos de los números enteros en el intervalo de $[1,N]$? Permite definir la función de $\omega(n)=\sum_{p|n} 1$ a ser el número de los distintos factores primos de a $n$.

En 1917, Hardy y Ramanujan se utiliza el método de círculo para demostrar que casi todos los números enteros en el intervalo de $[1,N]$ asintóticamente ha $\log \log N$ factores primos. En concreto, si $$\mathcal{E}_N=\{n\leq N: |\omega(n)-\log \log N|>(\log \log N)^{3/4}\},$$ then $|\mathcal{E}_N|=o(N)$. In 1934 Turan gave an alternative proof of this by showing that both the mean and variance of $\omega(n)$ are equal to $\log \log N$. Specifically, Turan proved that $$\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}\omega (n) =\log \log N(1+o(1))$$ and that $$\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}(\omega (n)-\log \log N)^2 =\log \log N(1+o(1)).$$

Ahora, aquí es donde las cosas se vuelven realmente interesante. Ya sabemos que la media y la varianza, permite normalizar y ver la función $$\frac{\omega(n)-\log \log n}{\sqrt{\log \log n}}.$$ We can ask, how is this distributed? In 1940, Erdos and Kac proved that $\omega(n)$ is normally distributed. That is, the number of prime factors function behaves like the normal distribution with mean $\log \log N$ and variance $\log \log N$. Specifically, for any fixed real numbers $a,b$, we have that$$\frac{1}{N}\left|\left\{n\leq N:\ a\leq\frac{\omega(n)-\log \log n}{\sqrt{\log \log n}}\leq b\right\}\right|=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-x^2/2}dx +o(1).$$

Answer 2

No estoy muy seguro de que entiendo exactamente lo que estás preguntando, pero creo que algunos de los siguientes puntos pueden arrojar algo de luz sobre el asunto.

Supongamos que arreglar $n$ y deje $k$ variar. El estudio de $\pi_k(n)/n$ es equivalente a mirar a la distribución del número de factores primos de los números enteros hasta el $n$ (por cierto, este resulta no ser muy sensible a la distinción entre "con repetición y sin repetición").

Tenemos que ser un poco cuidadoso como el asintótica para $\pi_k(n)$ es destinado a la $k$ fijo y $n$ creciente (pero todavía podemos utilizar esto como $k$ crece lo suficientemente despacio con $n$). Con esa advertencia en mente, la distribución aproximada dada por GPNT puede ser reescrita como:

$$\frac{\pi_{k+1}(n)}{n} \approx \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!},\quad k=0,1,2,\ldots$$

donde $\lambda = \log \log x$, y he cambiado el valor de $k$ por 1. Por la reescritura de esta manera, podemos reconocer el lado derecho, exactamente como una distribución de Poisson con parámetro de $\lambda = \log \log x$.

Libremente interpretada, cada número (por encima de 1) está garantizado para tener al menos un factor primo, pero el adicional más allá de los números primos que se comportan Poissonly con una tasa de $\log \log x$. El pico de cualquier distribución de Poisson siempre se produce en $\lambda$. Usted no necesita tomar derivados para ver esto, basta con mirar la relación de la $k-1$ $k$ términos:

$$\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \cdot \frac{(k-1)!}{\lambda^{k-1} e^{-\lambda}} = \frac{\lambda}{k}.$$

Por lo que claramente la distribución de Poisson es el aumento en el $k$ $k < \lambda$ y la disminución de $k > \lambda$, y el pico se produce en $\lfloor\lambda\rfloor$. Por otra parte, es bien conocido (véase el artículo vinculado de la Wikipedia) que la distribución normal con la misma media y varianza $\lambda$ se aproxima a la distribución de Poisson al $\lambda$ es grande. Tal vez esto explica la curva de campana que usted observó.

Por último, tenga en cuenta que la igualdad de la media y la varianza $\log \log x$ es precisamente la situación que surge de la Erdős-Kac teorema de Eric Naslund la respuesta, aunque repito que estoy ignorar deliberadamente los tamaños relativos de $n$ $k$ para que estos diferentes hechos son conocidos para ser verdad.