El índice de $\xi_4^*$ $\xi_4$

Question

Sólo con ver si estoy en lo correcto:

Con el conjunto de soluciones para $z^4=1$: $\xi_4=\{1,i,-1,-i\}$, uno puede construir el grupo de la $4$th raíces de la unidad: $(\xi_4,\cdot_\mathbb{C})$ y su multiplicativo subgrupo $(\xi_4^*,\cdot_\mathbb{C})$$\xi_4^*=\{1,-1\}$.

¿Cuál es el Índice de $[ \xi_4 : \xi_4^* ]$?

Yo diría que a través de Lagrange: $$ [ \xi_4 : \xi_4^* ] =\frac{|\xi_4|}{|\xi_4^*|}=\frac{4}{2}=2.$$ O contar los cosets de $\xi_4^*$: $$1\cdot\xi_4^*=\{1,-1\}= -1\cdot\xi_4^*,\quad i\cdot\xi_4^*=\{i,-i\}= -i\cdot\xi_4^*$$ tenemos dos.

Es esto correcto?

Answer 1

Sí, en efecto, el índice de $$[\xi_4:\xi^*_4] = \frac{|\xi_4|}{|\xi^*_4|} = \dfrac 4 2 = 2$$

Alternativamente, como se ha demostrado, el índice de $=$ el número de cosets de $\;\xi^*_4 \leq \xi_4 = 2$.

COMENTARIO:
Cuando usted está tratando con un grupo finito, como en este caso, el primer "método" para calcular el índice de un subgrupo con respecto a su grupo que contiene es, probablemente, el más rápido. (De hecho, el primer método funciona estrictamente para grupos finitos!)

Answer 2

Sí, se ve bien. Hay $2$ cosets del subgrupo $\xi_4^*$$\xi_4$.