¿Cuál es la homotopy colimit de la Cech nervio como un bi-simplical?

Question

Deje $f:Y_\bullet\to X_\bullet$ ser un epimorphism de simplicial conjuntos y definir la bi-conjunto simplicial $$ F_{\bullet\bullet}=\ldots Y\times_X Y\times_X Y\underset {\,} {\underset {\,} {\,}} Y\times_X Y \underset {\,} {\,} Y $$ como de costumbre (enlace). Ahora $F_{\bullet\bullet}$ puede ser visto como un diagrama en simplicial conjuntos y uno puede tomar su homotopy colimit $\operatorname{hocolim}(F_{\bullet\bullet})$ que es un conjunto simplicial. Este es débilmente equivalente a la diagonal (o realización) de $F_{\bullet\bullet}$.

Es $\operatorname{hocolim}(F_{\bullet\bullet})$ débilmente equivalente a $X_\bullet$? ¿Qué es una referencia?

Yo creo que esto sea cierto, ya que hay una declaración similar llamado el nervio teorema de espacios y simplicial espacios en lugar de simplicial conjuntos y bi-simplicial conjuntos. Tal vez no es suficiente para $f$ sólo ser un epimorphism para la declaración de mantener. En este caso, mi pregunta sería ¿cuál de las condiciones exactas en $f$.

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Comentario en un comentario a esta pregunta: Si $X$ $Y$ son discretos simplicial conjuntos, la diagonal de $F_{\bullet \bullet}$ es el conjunto simplicial $$ F_{\bullet}=\ldots Y\times_X Y\times_X Y\underset {\,} {\underset {\,} {\,}} Y\times_X Y \underset {\,} {\,} Y $$ donde cada una de las $X$ $Y$ es visto como un conjunto (y no como un conjunto simplicial). Este conjunto simplicial $F_\bullet$ es débilmente equivalente a la colimit $C$ (en la categoría de conjuntos) de $$ Y\times_X Y \underset {\,} {\,} Y $$ y, si he entendido bien, porque un epimorphism $f$ es el mismo como un eficaz epimorphism de conjuntos, $X$ es el colimit de este diagrama y, por tanto, $\operatorname{hocolim}(F_{\bullet\bullet})\cong diagonal(F_{\bullet\bullet})\cong F_{\bullet}\cong C \cong X$ en este caso discreto.

Por otro lado, en el ejemplo con $X$ ser un punto y $Y$, dos puntos, creo que el $C$ es un espacio con dos puntos que es misterioso. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Esto es cierto.

Comience con el mapa de $Y_\bullet \to X_\bullet$ de simplicial conjuntos y la forma de la bisimplicial set $F_{\bullet \bullet}$ como ya has hecho. Los productos de fibra en simplicial conjuntos se calculan levelwise, y por lo $F_{p,q}$ ${p+1}$veces producto de fibra de $Y_q$$X_q$, y hay un aumento natural $F_{0,q} \to X$.

Para asegurarse de que obtener una equivalencia, es suficiente para comprobar que el $|F_{\bullet \bullet}| \to |X_\bullet|$ es una equivalencia. El primero puede ser realizado de varias maneras: cuenta con el respeto a $p$ primero, con respecto a $q$ primera, o tomar la diagonal, y luego darse cuenta. Todos estos son homeomórficos.

Vamos a hacer la realización de las $p$ componente de primera. Entonces para cualquier $q$, obtenemos un mapa de los espacios de $|F_{\bullet,q}| \to X_q$, donde el ex espacio es construido a partir de la iteración de los productos de fibra $(Y_q)^{p+1}$$X_q$. Resulta que este es un homotopy equivalencia siempre $Y_q \to X_q$ es surjective.

(La menor prueba de que yo sé es que, dada una sección de $s: X_q \to Y_q$, hay un simplicial contracción abajo a $s(x)$; dado un simplex $(y_0,\ldots,y_p)$$x \in X_q$, $(p+1)$- simplex $(s(x),y_0,\ldots,y_p)$ que los contratos a $s(x)$, y esto se respeta el límite de las identificaciones.)

Por lo tanto, el mapa de $|F_{\bullet,q}| \to X_q$, visto como un mapa de simplicial espacios, es un levelwise de equivalencia, y por lo que se convierte en una equivalencia geométrica realización $|F_{\bullet \bullet}| \to |X_\bullet|$. (Geométrica realización toma débil equivalencias a la debilidad de equivalencias para los "buenos" simplicial espacios, y bisimplicial conjuntos de dar siempre un "buen" simplicial espacios cuando te das cuenta de una dirección.)

Answer 2

No estoy seguro de lo que las condiciones precisas bajo las cuales los débiles de equivalencia es verdadera, porque la simplicial espacio que has escrito no es homotopy invariante a menos $Y \to X$ es un fibration, o a menos que usted tome homotopy de fibra de los productos en cada etapa. Pero si usted toma homotopy de fibra de los productos en cada etapa, luego de la realización geométrica es siempre $X$ (si $Y \to X$ es un epimorphism en $\pi_0$): este es un tipo de homotopical descenso de la propiedad. Sin embargo, no estoy seguro de si esto es lo que quieres.

Una forma de ver esto es que el objeto simplicial de arriba es aumentada: vive de manera natural en la categoría de los espacios de más de $X$. El (homotopy) pullback functor de los espacios de más de $X$ a los espacios de más de $Y$ conserva homotopy colimits (por ejemplo, en el nivel de categorías de modelo, es una izquierda Quillen functor), y es conservador (refleja homotopy equivalencias) desde $\pi_0 Y \to \pi_0 X $ es surjective, por lo que es suficiente para comprobar que después de tirar de la simplicial objeto de $X$$Y$, la geometría de su realización es equivalente a $Y$. Pero cuando se tire de ella hacia atrás, es aumentada sobre $Y$ y tiene un extra de degeneración, por lo que su realización es débilmente equivalente a $Y$.