Pregunta. Deje $\left\{\varphi_{j}\right\}$ ser un completo ortonormales sistema para $L^{2}(\mathbb{R}^{d})$ de manera tal que cada una de las $\varphi_{j}\in C_{b}(\mathbb{R}^{d})$ (el espacio de continua, acotada de funciones). Deje $f\geq 0\in L^{1}(\mathbb{R}^{d})$ y supongamos que
$$\sum_{j=1}^{\infty}\left|\langle{f,\varphi_{j}}\rangle\right|^{2}<\infty \tag{*}$$
De lo anterior se sigue que el $f\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})$ y, por tanto,$f=\sum_{j}\langle{f,\varphi_{j}}\rangle\varphi_{j}$?
Esta pregunta está motivada por una pregunta aquí por alguien más, pero para los que me han ofrecido una recompensa. Estoy tratando de considerar una versión más simple del problema en los enlaces de la pregunta. He intentado jugar con aproximación argumentos (es decir, construir una secuencia $f_{n}\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})$ que converge a $f$ en algún sentido), pero me encuentro con problemas en el intento de uso (*) para el control de $\left\|f_{n}\right\|_{L^{2}}$.
Por ejemplo, si se podría producir una secuencia $f_{n}\rightarrow f$ $L^{1}(\mathbb{R}^{d})$ tal que $\sup_{n}\left\|f_{n}\right\|_{L^{2}}<\infty$, entonces no existiría $g\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})$ y una larga $f_{n_{k}}\rightarrow g$ débilmente en $L^{2}(\mathbb{R}^{d})$. A continuación, se deduce que el $f=g\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})$.
Cualquier ayuda sería para esta pregunta, así como la vinculada a uno, sería genial.
Actualización: La pregunta vinculada a parece haber contestado negativamente por David C. Ullrich.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una función con esta propiedad no tiene que ser en $L^2$.
Vamos a la primera nota del siguiente lema:
Lema. Deje $H$ ser un espacio de Hilbert separable y $E \subset H$ una densa lineal subespacio. Existe una contables set $\{e_n\} \subset E$ que es un ortonormales base para $H$.
La prueba del lema. Desde $H$ es separable, por lo que es $E$. Deje $\{x_n\}$ ser una contables subconjunto denso de $E$, lo que también es denso en $H$. Aplicar de Gram-Schmidt para obtener una secuencia $\{e_n\}$ que es ortonormales y tal que $e_n$ es una combinación lineal finita de $x_1, \dots, x_n$. En particular, $\{e_n\} \subset E$ y el lineal lapso de $\{e_n\}$ contiene todas las $x_n$, por lo que también es denso en $H$. Por lo tanto $\{e_n\}$ es un ortonormales de base para $H$. $\Box$
Tomar cualquier $f \in L^1(\mathbb{R}) \setminus L^2(\mathbb{R})$. Voy a producir una base ortonormales $\varphi_n$$L^2$, contenida en $C_b(\mathbb{R})$, por lo que $\sum_n \left|\int f \varphi_n\right|^2 < \infty$. (Para evitar confusiones, voy a reserva de la notación $\langle \cdot, \cdot \rangle$ para las funciones sabe que en el espacio de Hilbert $L^2$.)
Para comenzar, elija cualquier base ortonormales $B$$L^2$, que está contenida en $C_b(\mathbb{R})$. (Base existe por nuestro lema.) Partición de $B$ en dos partes: vamos a $B_0 = \left\{ e \in B : \int f e = 0\right\}$$B_1 = \left\{e \in B : \int fe \ne 0 \right\}$. Dejando $H_i$ ser cerrada lineal lapso de $B_i$, tenemos una suma directa de descomposición $L^2 = H_0 \oplus H_1$.
Ahora basta con encontrar un conjunto $\{\varphi_n\} \subset C_b(\mathbb{R}) \cap H_1$ que es un ortonormales base para $H_1$ y satisface $\sum_n \left|\int f \varphi_n\right|^2 < \infty$, y desde entonces se puede unión de este conjunto con $B_0$ para obtener una base ortonormales para $L^2$ con las propiedades deseadas.
Enumerar $B_1$ $\{e_n\}$ y deje $a_n = \int f e_n$. Por definición de $B_1$ tenemos $a_n \ne 0 $ todos los $n$. Si sucediera que los $\sum a_n^2 < \infty$ a continuación, se realiza mediante la toma de $\varphi_n = e_n$. Así que supongo que $\sum_n a_n^2 = \infty$.
Definir una secuencia $\psi_n$$\psi_n = a_{n+1} e_n - a_n e_{n+1}$. Tenemos $\psi_n \in C_b(\mathbb{R}) \cap H_1$, y por otra parte $\int f \psi_n = 0$. Deje $E$ ser lineal lapso de $\{\psi_n\}$ (es decir, todos finito de combinaciones lineales de las $\psi_n$); tenga en cuenta que $E \subset C_b(\mathbb{R}) \cap H_1$ $\int f \psi = 0$ todos los $\psi \in E$.
La reclamación. $E$ es denso en $H_1$.
Una vez que la reclamación está demostrado, podemos aplicar nuestro lema para obtener un conjunto $\{\varphi_n\} \subset E$ que es un ortonormales base para $H_1$. Entonces, vamos a tener $\int f \varphi_n = 0$ todos los $n$, de modo que $\sum_n \left|\int f \varphi_n\right|^2 < \infty$ es ciertamente satisfecho.
Prueba de reclamación. Supongamos $g \in H_1$ $\langle g, \psi_n \rangle = 0$ todos los $n$; le mostraremos $g=0$.
Desde $\langle g, \psi_n \rangle = 0$, entonces por definición de $\psi_n$ tenemos $a_{n+1} \langle g, e_n \rangle = a_n \langle g, e_{n+1} \rangle$, o en otras palabras $\langle g, e_{n+1} \rangle = \frac{a_{n+1}}{a_n} \langle g, e_n \rangle$ (recordar que todas las $a_n$ son cero). Por inducción se sigue que $\langle g, e_n \rangle = \frac{a_n}{a_1} \langle g, e_1 \rangle$.
Ahora por la identidad de Parseval aplicado en $H_1$, tenemos $$\infty > \|g_1\|^2_{L^2} = \sum_n |\langle g, e_n \rangle|^2 = \frac{|\langle g, e_1 \rangle|^2}{a_1^2} \sum_n a_n^2.$$ Desde $\sum_n a_n^2 = \infty$ por supuesto, esto sólo es posible si $\langle g, e_1 \rangle = 0$. Esto significa $\langle g, e_n \rangle = 0$ todos los $n$, lo que implica $g=0$ desde $\{e_n\}$ es una base para $H_1$.
(Un buen calentamiento para esta prueba sería mostrar que en $\ell^2$, la $E$ de todos los $h \in \ell^2$ tal que $\sum_k h(k) = 0$ es densa. Estrategia: vamos a $g \in E^\perp$. Demostrar por inducción que $g(k) = g(1)$ por cada $k$. A la conclusión de $g=0$. A la conclusión de $E^\perp = 0$ y, por tanto, $E$ es densa.)
