La pregunta está en el título.
Para reformular, una función, $ $f(x), existe tal que $\int f (x) dx $ puede encontrarse pero $f' (x) $ no se puede encontrar en términos de funciones elementales.
Por ejemplo, si $f (x) = e ^ {x ^ 2} $, entonces el derivado se calcula fácilmente mediante el uso de la regla de la cadena. Sin embargo, no existe un anti-derivado en términos de funciones elementales.
¿Existe una función con la propiedad opuesta?
Si la antiderivada de $F$ de $f$ es elemental, entonces también lo es de $f' = F"$ (para cualquier definición razonable de la "función primaria"). Por lo tanto, no hay ejemplo de esto puede ser encontrado.
Lo que yo asumo aquí es que por tu favorito definición de "función primaria", el siguiente es cierto: Todos los elementales de la función es diferenciable y la derivada es de nuevo una función primaria.
Esta en el hecho cumplido (en los respectivos dominios) si se toma como sus funciones elementales de todas las funciones que pueden ser obtenidos a partir de $\exp, \ln \pecado, \cos$ y polinomios tomando sumas/cocientes/productos y composiciones de estas funciones. Esto es una consecuencia de la regla de la cadena.
Es que no se ha cumplido, sin embargo, si usted también desea incluir raíces, desde, por ejemplo, $x \mapsto \sqrt{x}$ no es diferenciable en el origen. Pero tenga en cuenta que esto es cierto si se considera sólo a las raíces como de las funciones $(0,\infty)$ en vez de $[0,\infty)$.
Supongo que si la función $f$ tiene un continuo versión (con respecto a la igualdad.e.), a identificarlo con sus continuas versión.
Como se señaló en la respuesta de @RossMillikan, la de Dirichlet de la función $f = 1_\Bbb{Q}$ es (Lebesgue) integrable con "antiderivada" $x \mapsto 0$, pero no diferenciable. Pero tenga en cuenta que $f = 0$ en casi todas partes, que es la primaria y tiene una escuela primaria de derivados.
Por último, si $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ es elemental, entonces (por Lebesgue del teorema de la diferenciación) usted tiene $f(x) = F'(x)$ en casi todas partes. Por lo tanto, si $F$ es elemental (como se describe en el punto 1), entonces $F$ es elemental y, por tanto, continua, de manera que obtenemos $f = F'$ en casi todas partes. Desde que nos pusimos de acuerdo para identificar de $f$, con sus continuos versión, nos dan $f = F'$ en todas partes, de modo que $f$ es derivable con $f' = F"$ elemental, como se ha dicho anteriormente.
Aunque las otras respuestas dicen de manera diferente, me gustaría poner el ejemplo de la La función de Weierstrass que es un patológicos idea matemática.
Citando el enlace de wikipedia,
En matemáticas, la función de Weierstrass es un ejemplo de una patológica real de la función con valores en la recta real. La función tiene la propiedad de ser continua, diferenciable en todas partes, pero en ninguna parte. Es el nombre de su descubridor Karl Weierstrass.
Históricamente, la función de Weierstrass es importante porque fue el primero publicado ejemplo (1872) para desafiar la noción de que cada función continua se diferenciable, excepto en un conjunto de puntos aislados.
En Weierstrass' original en papel, la función se define como la suma de una serie de Fourier:
$$f(x)=\sum_{n=0} ^\infty a^n \cos(b^n \pi x)$$ donde $0<a<1$, $b$ es un entero impar positivo, y
$$ab > 1+\frac{3}{2} \pi$$ El valor mínimo de $b$, que cumple con estas restricciones es de $b=7$. Esta construcción, junto con la prueba de que la función es diferenciable, fue dada primero por Weierstrass en un documento presentado a la Königliche Akademie der Wissenschaften el 18 de julio de 1872.
La prueba de que esta función es continua en todas partes, no es difícil. Dado que los términos de la serie infinita que la define son limitadas por $\pm a^n$ y esto ha finito suma de $0 < a < 1$, la convergencia de la suma de los términos es uniforme por la M de Weierstrass-prueba con $M_n = a^n$. Desde que cada suma parcial es continua y el límite uniforme de funciones continuas es continua, se sigue que $f$ es continua.
Como es evidente a partir de la forma funcional de esta función especial, tiene una antiderivada. Así que esta puede ser considerado como un ejemplo válido.
$f (x) = |x|$ es integrable, con integral $\frac 12x|x|$. Usted puede tomar $ $f'(x) por todas partes pero cero.
La función de Dirichlet, que es $1$ en el $ racionales y $0 en los irrationals, es Lebesgue integrable (con valor $0$) pero no derivado en cualquier lugar.
La pregunta deja dos detalles a la interpretación, y el otro que es preciso bien puede ser por accidente. Esto es importante porque la respuesta va a ser sí o no dependiendo de cómo los detalles se hacen más precisas. Sin embargo, para la mayoría de las formas de hacer de los detalles precisos, la respuesta es sí.
Es muy bien sabido que existen funciones de los reales a los reales que tienen un derivado de $f$, que no es ni continua. (Esta es la razón por la que muchos teoremas uso de las palabras "continuamente diferenciable" en sus suposiciones, en lugar de la más general "diferenciable".) Desde un no-función continua nunca ha derivado, cualquier función $f$ es un ejemplo de una función con una antiderivada pero no derivado. Pero usted no puede considerar este un ejemplo real, porque usted puede estar interesado sólo en funciones continuas.
Creo que algunas de estas funciones pueden ser encontrados en el sentido fuerte que te puede dar definiciones precisas de ellos (y de sus antiderivatives) - aunque no como la potencia de la serie, y ciertamente no como funciones elementales. Y la derivada no se encuentra - en el sentido fuerte que definitivamente no existe.
Si usted está interesado sólo en funciones continuas, entonces la respuesta está sí. Es muy bien conocido, y fácil de ver, que no son funciones continuas de $f$, que no son diferenciables. Pero cada función continua tiene una antiderivada. De nuevo, este argumento funciona con todas las definiciones de "puede ser encontrado".
Si usted está interesado sólo en funciones elementales, entonces la respuesta es no. Es bien sabido que la derivada de cada función primaria es una función primaria, pero que existen funciones elementales cuyos derivados no son elementales.
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