Es $\;\det(A^n) =\left(\det (A)\right)^n\;$ ?

Question

¿Cómo puede el valor de $\;\det\left(A^{11}\right)\;$ se calculará a partir de $\;\det(A)$ ?

En general, ¿cómo puede $\;\det\left(A^n\right)\;$ se obtenga de $\;\det(A)$ ?

Answer 1

Simplemente hay que aplicar iterativamente la identidad que establece que $$\det(AB) = \det(A)\cdot \det(B)$$ $$ \implies \det(AA) = \det (A)\cdot \det(A)\quad\quad\;\,$$ y se llega al hecho de que $$\det(A^n) = \underbrace{\det (A) \cdot \det (A) \cdot \ldots \cdot \det (A)}_{\large n\;\text{times}} = \Big[\det(A)\Big]^n$$

Answer 2

Recordamos que el determinante de un endomorfismo $T : V \to V$ es el único escalar $c$ tal que el mapa functorial

$$\bigwedge\nolimits^{\!k} T : \bigwedge\nolimits^{\!k} V \to \bigwedge\nolimits^{\!k} V$$

es la multiplicación por $c$ . Aquí $k$ es la dimensión de $V$ . Por lo tanto, usted se pregunta por qué si aplicamos $\bigwedge^k T$ $n$ número de veces que el mapa resultante se multiplica por $c^n$ . Pero esto es simplemente obvio.

Answer 3

${}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}det(A^n) = [det(A)]^n$ .