La costumbre característica de Euler es absolutamente la opción correcta, al menos para el cerrado de los colectores. Hay un montón de razones para creer que este:
- $\chi(X \sqcup Y) = \chi(X) + \chi(Y)$ donde $\sqcup$ es distinto de la unión. (Este es el subproducto en la categoría de espacios topológicos.) Bajo ciertas condiciones, incluso tenemos la "inclusión-exclusión" fórmula $\chi(X \cup Y) = \chi(X) + \chi(Y) - \chi(X \cap Y)$.
- $\chi(X \times Y) = \chi(X) \chi(Y)$. Así que incluso recibir un "anillo de homomorphism."
- Si $X \to Y$ $n$- pliegue que cubre el mapa, a continuación,$\chi(X) = n \chi(Y)$.
- Para superficies cerradas, $\chi(X)$ naturalmente aparece en el de Gauss-Bonnet teorema. Esto es parte de una gran división en la teoría de las superficies entre las superficies que admitir métricas de Riemann de curvatura negativa constante, constante curvatura cero, y la constante de curvatura positiva, que por el de Gauss-Bonnet teorema corresponde a tener negativos característica de Euler, cero característica de Euler, y positiva característica de Euler. Véase también el teorema de uniformización. En las dimensiones superiores, tenemos la Chern-Gauss-Bonnet teorema.
- $\chi(X)$ también, naturalmente, aparece en el de Poincaré–Hopf teorema, el cual, entre otras cosas, destaca cerrado suave colectores de la característica de Euler $0$ entre todas cerrado suave colectores: estos son precisamente los que admitir nonvanishing campos vectoriales.
- Una ligera generalización de la característica de Euler, la Lefschetz traza $L(f)$ de un endomorfismo $f : X \to X$, naturalmente aparece en la Lefschetz teorema de punto fijo. La característica de Euler resulta ser el Lefschetz traza $L(\text{id}_X)$ de la identidad. Comparar a la declaración de que la dimensión de un espacio vectorial es el rastro de su identidad; hay una manera de formalizar el sentido en el que la característica de Euler de un colector cerrado es su "homotopy dimensión" o "homotopy cardinalidad." Ver también este post en el blog, aunque creo que he dicho algo incorrecto en la introducción.
Conectado suma es menos natural que la operación a considerar la posibilidad de que usted podría creer. Lo que es más importante, usted tiene que elegir por donde cortar pequeños agujeros de su colectores (y la elección de materias por ejemplo, si su colectores no están conectados). Debe ser pensada no como una operación en colectores, sino como una operación en colectores después de que hayas elegido pequeños agujeros para cortar de ellos, donde se convierte en la composición (encolado) de cobordisms. Y es este extra de corte de paso que altera el comportamiento de la característica de Euler de la homomorphism propiedad que se podría esperar: con las hipótesis apropiadas, cortar un agujero de una superficie disminuye su característica de Euler por $1$.
Para cerrado conectado superficies, como alternativa, el número de definir es el primer número de Betti $b_1 = \dim H_1(X, \mathbb{Q})$ de la superficie. Su relevancia para tomar conectado sumas es que
$$H_1(X \# Y, \mathbb{Q}) \cong H_1(X, \mathbb{Q}) \oplus H_1(X, \mathbb{Q})$$
pero no leer demasiado en esto: el análogo declaraciones de $H_0$ $H_2$ son falsas.
