La prueba de ${F(n+4)}^{4} - {4F(n+3)}^{4} - {19F(n+2)}^{4} - {4F(n+1)}^{4}+{F(n)}^{4} = -6$

Question

Observar:

\begin{matrix} F(n)|&{F(n)}^{4}& - {4F(n+1)}^{4}& - {19F(n+2)}^{4}&- {4F(n+3)}^{4}&{F(n+4)}^{4}& = -6\\ 1|& 1& -4& -304& -324& 625&=-6\\ 1|& 1& -64& -1539& -2500& 4096&=-6\\ 2|& 16& -324& -11875& -16384& 28561&=-6\\ 3|& 81& -2500& -77824& -114244& 194481&=-6\\ 5|& 625& -16384& -542659& -777924& 1336336&=-6\\ 8|& 4096& -114244& -3695139& -5345344& 9150625&=-6 \end{de la matriz}

Veo que la prueba es verdad, pero no puedo entender completamente el patrón. Estoy más interesado en las pistas en lugar de una solución. He leído a través de este sitio web acerca de Fibonomials un par de veces y una buena comprensión pero I cant cómo se aplica en esta situación. Puede incluso no ser necesario. He tratado de demostrar a través de la inducción, pero terminó con casi exactamente el mismo problema. Creo que puede haber una prueba a través de algún tipo de secuencia recursiva, pero no sé lo suficiente como para probar algo como eso.

Estoy más interesado en las pistas en lugar de una solución.

Answer 1

Aquí es un divertido teorema que es útil para estos tipos de problemas: Para cualesquiera enteros $d$ $k$ existe un entero $N$ tal que para cualquier polinomio $p(x_1,x_2,...x_k)$ de grado $d$, $p(F_n,F_{n+1},...,F_{n+k-1})=0$ para $n = 0,1,2, ... ,N$ implica $p(F_n,F_{n+1},...,F_{n+k-1})=0$ todos los $n$.

En su caso $d = 4$$k = 5$. Dependiendo del cuidado que usted vaya a través de la prueba de este teorema se puede obtener $N$ hasta decir 100 con bastante facilidad, y hasta alrededor de los 18 con un poco más de trabajo (si mis cálculos mentales son correctos). De cualquier manera usted puede tener una computadora comprobar que muchos de los valores con bastante facilidad.

Answer 2

Esta no es la solución más elegante, pero es un muy sencillo cálculo utilizando las herramientas estándar que utilizamos para resolver recurence-relaciones.

Deje $a_n = F_n^4$ (donde $F_n$ representa los términos de su recurence relación que aún no sabemos es la secuencia de Fibonacci), a continuación, $$a_{n+4} - 4a_{n+3} - 19a_{n+2} - 4a_{n+1} + a_n = -6$ $

El polinomio característico es

$$x^4 - 4x^3 - 19x^2 - 4x + 1 = (x^2+3x+1)(x^2-7x+1)$$

La solución particular es$a_n = C = \frac{6}{25}$, por lo que la solución completa lee

$$a_n = \frac{6}{25} + a r_+^n + b r_-^n + c s_+^n + d s_-^n$$

donde

$$r_\pm = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} = \left(\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\right)^2$$ $$s_\pm = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2} = r_{\pm}^2 = \left(\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\right)^4$$

son las raíces del polinomio característico. Ahora tenga en cuenta que los números de Fibonacci statisfy

$$F_n = e\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n + f\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$$

La fijación de las constantes $a,b,c,d,e,f$ nos da $a_n = F_n^4$ donde $F_n$ aquí está la secuencia de Fibonacci.

${\bf Added}:$

La definición de $q_\pm = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ $$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}(q_+^n - q_-^n)$ $ lo

$$F_n^4 = \frac{1}{25}\left((q_+^4)^n + (q^4_-)^n + 4(q_+^3 q_-)^n + 6 (q^2_- q^2_+)^n + 4(q_+q_-^3)^n\right)$$

Ahora vamos a utilizar $q_+q_- = -1$ encontrar

$$F_n^4 = \frac{1}{25}\left((q_+^4)^n + (q^4_-)^n - 4(q_+^2)^n - 4(q_-^2)^n + 6\right)$$

o usando la notación $s_\pm,r_\pm$ definido anteriormente hemos

$$F_n^4 = \frac{1}{25}\left(s^n_+ + s^{n}_{-} -4r^{n}_{+} - 4r^{n}_{-} + 6\right)$$

que da $a=b=-\frac{4}{25}$$c=d=\frac{1}{25}$.

Answer 3

Usted ya ha aceptado la respuesta, pero aquí es un enfoque alternativo.

$${F(n+4)}^{4} - {4F(n+3)}^{4} - {19F(n+2)}^{4} - {4F(n+1)}^{4}+{F(n)}^{4}$$

se reduce a $$-6\left(F(n+1)^2 - F(n+1)F(n) - F(n)^2\right)^2$$

mediante la aplicación de Fibonacci de la recursión.

Así que lo que queda por demostrar es que

$$F(n+1)^2 - F(n+1)F(n) - F(n)^2 \in \{1, -1\}$$

o más específicamente:

$$F(n+1)^2 - F(n+1)F(n) - F(n)^2 = \begin{cases} +1 \text{ for } 2\mid n \\ -1 \text{ for } 2\not\mid n \\ \end{casos}$$

que sigue inductivamente, dado

$$\begin{align} & F(n+1)^2 - F(n+1)F(n) - F(n)^2\\ &= F(n+1)\bigg(F(n+1) - F(n)\bigg) - F(n)^2 \\ &= \bigg(F(n) + F(n-1)\bigg)F(n-1) - F(n)^2 \\ &= -\left(F(n)^2 - F(n)F(n-1) - F(n-1)^2\right) \end{align}$$

Answer 4

Bueno, permítanme dar algunos consejos por gesticulando en un par de cosas.

En el lado izquierdo, tenemos un operador de la forma $X^4 - 4X^3 - 19X^2 - 4X + 1 = (X^2-7 X+1) (X^2+3 X+1)$ que se aplica a la secuencia de $F(n)^4$.

Deje $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, el positivo de la raíz de la ecuación característica para el Fibonacci de recurrencia.

Curiosamente, $X^2-7 X+1$ es el polinomio mínimo de a $\phi^4$, e $X^2 + 3X + 1$ es el polinomio mínimo de a $-\phi^2$. Estas cosas no son coincidencias.

Si el extremadamente abstracto no es atractivo para usted, aquí es un simplemente muy vista abstracta: pensar acerca de la identidad de $5F_n^2 = L_{2n} + 2\cdot(-1)^n$. Del lado derecho se satisface una recursividad relacionados con la secuencia de Fibonacci. Si usted puede hacer sentido de este hecho, y generalizar a $F_n^4$, usted está en la recta final.