Demostrar que si la matriz de $A$ es nilpotent, a continuación, $I+A$ es invertible.

Question

Así que mi amigo y yo estamos trabajando en esto y aquí es lo que tenemos hasta ahora.

Queremos mostrar que $\exists \, B$ s.t. $(I+A)B = I$. Hemos considerado el hecho de que $I - A^k = I$ positivos $k$. Ahora, si $B = (I-A+A^2-A^3+ \cdots -A^{k-1})$,$(I+A)B = I-A^k = I$. Mi pregunta es: en la matriz de $B$, ¿por qué el signo de $A^{k-1}$ negativo? No podría ser positivo, en cuyo caso obtendríamos $(I+A)B = I + A^k$?

Gracias.

Answer 1

Es la costumbre polinomio de identidad $$ 1 - x^{k} = (1 - x)(1 + x + x^{2} + \dots + x^{k-1}), $$ donde están sustituyendo $x = -A$.

Answer 2

Como se puede ver ya a partir de su fórmula para $B=I-A\mathbf{+} A^2-\dots$ el signo puede ser $+$ por ejemplo si $k=2$. De hecho, el signo que se produce es $(-1)^{k-1}$.

Answer 3

Por el incremento de si es necesario por $1$, podemos asegurarnos de que la $k$ *esimpar. Luego tenemos a la identidad familiar (por extraño $k$) $1+x^k=(1+x)(1-x+x^2-x^3+\cdots +x^{k-1})$.