Ejercicio en Lang Álgebra Ch 5

Question

Necesito una sugerencia para este ejercicio en Lang Álgebra de Ch 5 # 28. Deje $f$ ser homogénea de grado 2 polinomio en $n$ variables a lo largo de un campo de $k$. Si $f$ tiene un no-trivial de cero en una extensión de grado impar, a continuación, $f$ tiene un no-trivial cero en $k$.

Supongo que mi problema es que yo no estoy seguro de cómo lidiar con las raíces de mantillo de la variable de polinomios. La mayoría de Lang Ch5 ofertas con una sola variable de polinomios sobre un campo.

Answer 1

Lang ha sido conocida a capa teoremas en la forma de ejercicios, y este es un ejemplo de esto. Lo que están pidiendo es un elemental pero importante resultado en la forma cuadrática teoría, llamada Springer del Teorema.

(Cuidado: hay al menos otro resultado importante en esta zona, llamada "Springer del Teorema". El otro Springer del Teorema es el Teorema 7 en estas notas: es un poco más técnico).

Una forma cuadrática $q(x_1,\ldots,x_n)$ sobre un campo $K$ se llama anisotrópico si para cualquier vector $v \in K^n$ otros que el vector cero, $q(v) \neq 0$. A continuación, el contrapositivo, por lo tanto equivalente, la forma de Lang del ejercicio es:

Teorema (Springer): Vamos a $q$ ser un anisotrópico forma cuadrática $K$, y deje $L/K$ ser un extraño grado de extensión de campo. Entonces visto como una forma cuadrática más $L$, $q$ sigue siendo anisotrópico.

Una prueba de Springer del Teorema aparece (por ejemplo) en $\S 3$ de estas notas sobre la formas cuadráticas. A pesar del hecho de que esto es casi 40 páginas en un estudio sistemático de la teoría algebraica de formas cuadráticas, la prueba debe ser autónomos, siempre que la terminología se explica, que espero haber hecho anteriormente.

Comentario: Un campo puramente teórico resultado que puede ser visto como un caso especial de Springer del Teorema es: si $K$ es formalmente real de campo, es decir, $-1$ no es una suma de cuadrados, y $L/K$ es una extensión finita de extraño degre, a continuación, $L$ también es formalmente real. (De hecho, un campo es formalmente real iff para todos los $n$, la forma cuadrática $x_1^2 + \ldots + x_n^2$ es anisotrópico.) Este resultado aparece en $\S 15.3$ de mi teoría de campo de notas, y, de hecho, la prueba es esencialmente la misma que la prueba de Springer del Teorema.

Answer 2

Aquí es una prueba de dos variables, el caso general siguiente por inducción. Así que vamos a $\mathbb L$ ser un extraño grado de extensión de $\mathbb K$, e $f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2$. Si $f$ tiene un no-trivial cero en ${\mathbb L}^2$, luego por la homogeneidad de cualquiera de las $g(x)=f(x,1)$ o $h(y)=f(1,y)$ tiene un cero en $\mathbb L$. Dicen que es $g$. A continuación, $g$ tiene una raíz $\alpha\in {\mathbb L}$. El grado $[{\mathbb K}(\alpha):{\mathbb K}]$ divide el número impar $[{\mathbb L}:{\mathbb K}]$, y en la mayoría de las $2$, lo $\alpha \in \mathbb K$ ; a continuación, $(\alpha,1)$ es no trivial de cero para$f$$\mathbb K$.