Ejemplos de resultados grupo teórico más fácilmente obtenidos a través de la topología o geometría

Question

Antes, me estaba mirando de una cuestión acerca de la abelianization de un grupo determinado de $X$. Desde $X$ fue el grupo fundamental de una superficie cerrada $\Sigma$, era fácil de calcular, $X^{ab}$ $\pi_1(\Sigma)^{ab} = H_1(\Sigma)$, a continuación, utilizar la costumbre de maquinaria para calcular $H_1(\Sigma)$. Que me hizo curioso acerca de otros ejemplos convincentes de problemas puramente (para algunos definición de "puramente") algebraicas preguntas que son accesibles a través de la topología o la geometría. El mejor ejemplo que se me ocurre de Nielsen-Schreier teorema, que sin duda es comprobable directamente, pero tiene una muy corta de la prueba por el replanteamiento del problema en términos de que el grupo fundamental de un producto exterior de los círculos. Continuar en esta línea de razonamiento nos lleva a cosas como los gráficos de los grupos, HNN-extensiones, y otros bits de geométrica teoría de grupos.

¿Cuáles son algunos otros ejemplos, en cualquier nivel, de la apariencia puramente grupo de la teoría de la resultados que tienen fuertes, más corto topológica de las pruebas? Las áreas están íntimamente relacionados; estoy buscando más de lo que parecen completamente algebraica de problemas que resultan completamente topológico resoluciones.

Answer 1

El Kaplansky Conjetura afirma que el anillo de grupo de $\Bbb P G$ no contiene no trivial cero divisores cuando $G$ es un torsionfree grupo.

Es implícita por la Atiyah Conjetura, (una versión de) que dice que para cada compacto conectado CW complejo de $X$ $\pi_1(X)=G$ todos $\ell^2$-Betti números son enteros.

El Atiyah Conjetura ahora se sabe que es cierto para una gran cantidad de grupos - en particular a los grupos para que la verdad de la Kaplansky Conjetura era desconocido antes.

Answer 2

Hay una secuencia exacta, debido a Hopf: $$\pi_2(X) \a H_2(X) \a H_2(\pi_1(X)) \a 0,$$, donde el primer mapa es el de Hurewicz mapa. En cierto sentido, $H_2(\pi_1(X))$ mide surjective la (2 dimensiones) Hurewicz mapa. El propósito de esta respuesta es para vender en esta secuencia exacta. Aquí un pequeño resultado, usted puede probar con ella.

Teorema: si $G$ es el grupo fundamental de una homología de la esfera, entonces $H_1(G) = H_2(G) = 0$. En particular, esto es cierto de los binarios de icosaédrica grupo (una doble cubierta de $A_5$), que es el grupo fundamental de la esfera de Poincaré.

Prueba: $H_1(G) = G^{ab} = H_1(X) = 0$. Que $H_2(G) = 0$ se sigue inmediatamente de la anterior secuencia exacta, porque $H_2(\pi_1(X))$ es un cociente de $H_2(X)$.

Dos notas.

1) no sé una más fácil, o de manera diferente a todos a probar este hecho.

2) Esta propiedad fundamental que caracteriza a los grupos de homología de las esferas. Es un viejo teorema de Kervaire que si $G$ es un finitely presentó el grupo trivial $H_1$ y $H_2$, entonces fijo $n > 4$, usted puede encontrar una homología $$n-esfera con grupo fundamental de $G$. $n=3,4$ lo (¡como siempre!) algo de un misterio.

Answer 3

He aquí un completo algebraicas pregunta: ¿qué hacen los subgrupos de un producto libre de $G_1 \ast G_2 \ast \dots \ast G_n$?

El Kurosh subgrupo teorema implica, entre otras cosas, que todos ellos son productos libres de copias de $\mathbb{Z}$ y de los subgrupos de cada uno de los $G_i$. Esto generaliza la Nielsen-Schreier teorema, que se obtiene cuando cada uno de los $G_i$ es $\mathbb{Z}$. La idea de la topológicos de la prueba es convertir el asunto en una cuestión acerca de la cobertura de los espacios de una cuña suma de los espacios fundamentales en los grupos $G_1, G_2, \dots G_n$, y resulta que a ser posible describir estas cubriendo espacios como generalizada gráficos en algún sentido (que puede ser precisa, por ejemplo, el uso de Bass-Serre teoría). Las copias de $\mathbb{Z}$ se muestran cuando estos gráficos tienen bucles en ellos.

Por ejemplo, los subgrupos de la modulares grupo $\Gamma \cong PSL_2(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}_2 \ast \mathbb{Z}_3$ son todos los productos libres de copias de $\mathbb{Z}, \mathbb{Z}_2$ y $\mathbb{Z}_3$. De hecho, usted puede incluso hacer precisa de las afirmaciones acerca de que los grupos de esta forma puede aparecer con el que los índices de uso de la noción de virtual o orbifold característica de Euler; véase, por ejemplo, este blog algunos detalles (y fotos).

Answer 4

El libro árbolespor uno de los más grandes matemáticos de nuestro tiempo, Jean-Pierre Serre, demuestra cómo la topología y teoría de grupos son bien conectado (disculpen el juego de palabras). En efecto, teorema de Schreier, HNN-extensiones etc. es vistos aquí desde un punto de vista topológico.

Answer 5

Deje de $G$ ser un grupo finito. Considere la siguiente pregunta: ¿cuántos homomorphisms $\pi_1(\Sigma_g) \G$ hay, donde $\Sigma_g$ es el cerrado orientado a la superficie de género de $g$? El uso de una presentación de $\pi_1(\Sigma_g)$, esto es puramente grupo de la teoría de la pregunta. Se admite una representación de la teoría de la respuesta: hemos

$$\frac{|\text{Hom}(\pi_1(\Sigma_g), G)|}{|G|} = \sum_V \left( \frac{\dim V}{|C|} \right)^{\chi(\Sigma_g)}$$

donde $\chi(\Sigma_g) = 2 - 2g$ es la característica de Euler, y la suma que se ejecuta a través de todo el complejo irreductible representaciones de $G$; esto es Mednykh de la fórmula.

Clásicamente este resultado fue demostrado el uso de caracteres en la teoría, pero la aparición de la característica de Euler sugiere, correctamente, que este resultado podría admitir un topológica de la prueba, y de hecho lo hace, usando la maquinaria de topológica de la teoría del campo, y más precisamente el uso de Dijkgraaf-Witten teoría.

En el número anterior resulta ser el valor que Dijkgraaf-Witten teoría de la devuelve cuando se alimenta de la superficie de $\Sigma_g$, y puede ser interpretado como la groupoid cardinalidad de la groupoid de principal de $G$-paquetes en $\Sigma_g$. La maquinaria de TFT proporciona una manera de calcular este número por la ruptura de hasta $\Sigma_g$ en un montón de superficies con límites; la prueba está explicado (muy mal y sin referencias o imágenes) aquí. Véase también Noé Snyder a tomar.