Las funciones que $\sum \frac{1}{x_n}$ diverge $\Longrightarrow \sum \frac{1}{x_nf(x_n)}$ divergen

Question

Hay un $f : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ tal forma que :

1. $f$ es un aumento de la bijective mapa de $\mathbb{R}_+$ dentro de sí mismo.

2. Para todo $\displaystyle\sum_n \frac{1}{x_n}$ where $(x_n)$ es creciente y potitive : $$\sum \frac{1}{x_n} \; \text{diverge}\; \Longrightarrow \sum \frac{1}{x_nf(x_n)} \; \text{diverge}$$

(A partir de un francés examen oral)

Answer 1

Edit: Lo que escribí no es muy correcto. O tal vez es a la derecha. Véase el comentario en la parte inferior.

No hay tal $f$.

Si $f$ es un aumento de la bijection existe $y_j>j$ tal que $f(y_j)>j$. Deje $N_j$ ser el más pequeño entero positivo $$N_j\frac1{y_j}>\frac1j.$$Since $1/y_j<1/j$ it follows that $$N_j\frac1{y_j}\le \frac2j.$$

Deje $(x_n)$ ser la secuencia que consta de $y_1$ repitió $N_1$ veces, seguido por $y_2$ repitió $N_2$ tiempos, etc. Entonces $$\sum_n\frac1{x_n}=\sum_j N_j\frac1{y_j}>\sum_j\frac1j=\infty,$$while $$ \sum_n\frac1{x_nf(x_n)}=\sum_jN_j\frac1{y_j\,f(y_j)}\le2\sum_j\frac1{j^2}<\infty.$$

Comentario: se me perdió la condición de que el $x_n$ se supone que va en aumento. Ciertamente, podemos hacer la $y_j$ el aumento, en cuyo caso el $x_n$ es no-decreciente, que es lo que "creciente" significa a menudo. Si queremos que la $x_n$ a ser estrictamente creciente, comienzan con $y_j$ estrictamente creciente, definir $x_n$ anterior, y, a continuación, modifique $x_n$ un poco para hacer la secuencia estrictamente creciente. Si la modificación es lo suficientemente pequeño como esto no va a cambiar la convergencia o divergencia de las dos series. (Por ejemplo, determinado $x_n$ como el anterior sin duda podemos encontrar una estrictamente creciente secuencia $(x_n')$ tal que $x_n\le x_n'\le 2x_n$; tenga en cuenta que $f(x_n')\ge f(x_n)$.)