Vamos a R un anillo conmutativo con identidad. Si cada ideal generado por dos elementos de R que es lo principal, entonces podemos concluir que R es un PID? También, si cada finitely generado ideal de R que es lo principal, podemos concluir que R es un PID?
Respuestas
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Un dominio con cada dos generado ideal principal $\rm\:(a,b) = (c)\:$ se llama Bezout de dominio. Por inducción, esto es equivalente a cada finitely generado ideal de ser director. Esto no implica que todo ideal es principal (PID). De hecho, el anillo de todos los algebraica de números enteros es Bezout (Kaplansky, Anillos Conmutativos, el Teorema de 102), pero su ideal $\:(2^{1/2},\,2^{1/3},\ldots)\:$ no es principal.
Un dominio es un PID iff es Bezout y satisface la ACCP (ascendente de la cadena de condición de director ideales). La dirección $(\Rightarrow)$ es clara. Para $(\Leftarrow)$ nota de que la ACCP implica que la relación de divisibilidad está bien fundada, por lo tanto, un valor distinto de cero ideal I generado por un elemento de c mínima respecto a la divisibilidad, ya que si $\rm\:c\nmid i\in I\:$ $\rm\:(c,i) = (d)\subset I\:$ $\rm\:d\:|\:c\:$ correctamente ($\rm\,c\mid d\mid i\,),$ contra minimality de c. Esto es esencialmente una aplicación de la Dedekind-Hasse de Prueba para un PID.
Si se nos da una Bezout UFD $(\Rightarrow$ ACCP) entonces podemos usar el número de factores primos como una métrica para el Dedekind-la Naturaleza de la prueba. Luego de que la anterior $\rm\,c\in I\,$ es de divisibilidad mínimo se traduce a que es un elemento de $\,\rm I\,$ con el menor número de factores primos.
Alan Guo
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No, en general esto no es cierto. Por ejemplo, en el anillo de la totalidad de las funciones de cada finitely generado ideal es principal, pero este anillo no es un PID.
Si, además, $R$ satisface el ascendente de la cadena de condición de principal ideales, entonces se puede concluir que el $R$ es un PID.
Ripan Saha
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