El último dígito de la $3^{459}$.

Question

Se supone que debo encontrar el último dígito del número de $3^{459}$. Wolfram|Alpha me da $9969099171305981944912884263593843734515811805621702621829350243852275145577745\\3002132202129141323227530694911974823395497057366360402382950449104721755086093\\572099218479513977932448616356300654729978057481366551670706\color{red}{\mathbf{7}}$

Seguro que hay algún tipo de numérico truco para hacer esto. Pensé que tal vez aritmética modular estuvo involucrado? Cualquier idea sobre cómo abordar este problema?

Answer 1

Probar los primeros poderes de $3$: tenemos que $$3^1=3, 3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243, 3^6=729,\ldots$$ Parece que el dígito final de los ciclos en un patrón, es decir, $$3\to9\7\1\o 3\to9\7\1,$$ de longitud $4$. Desde $$459=4\cdot114+3,$$ el dígito final es la tercera del ciclo, es decir,$\color{red}{\mathbf{7}}$, y, efectivamente, su Wolfram|Alpha cálculo confirma esto.

Answer 2

$$3^{4}=1\pmod{10}\implies (3^{4})^{114}=1 \pmod{10}$$ So $$3^{459}=3^{4 \times 114}\cdot 3^{3}=3^{3}\pmod{10}=7\pmod {10}$$