Hay varias natural topologías para poner en el espacio de las particiones, que también puede ser pensado como el espacio de las relaciones de equivalencia.
En primer lugar, la colección de particiones de un conjunto es un orden parcial en el marco del perfeccionamiento de la relación, donde una partición $\mathcal{A}$ refina otro $\mathcal{B}$ cuando cada elemento de a $\mathcal{A}$ es un subconjunto de un conjunto en $\mathcal{B}$. Lo que es más, el espacio de las particiones para cada uno de sus espacios es una baja semi-red, desde cualquiera de las dos particiones $\mathcal{A}$ $\mathcal{B}$ tienen más tosca común refinamiento, la colección de vacío $A\cap B$ donde$A\in\mathcal{A}$$B\in\mathcal{B}$. De hecho, los casos de $X$ $Y$ conducir a una $\sigma$-total inferior semi-red, ya que uno de mayo del mismo modo se cruzan countably muchos conjuntos y permanecer Borel o Lebesgue medible como necesario. Ya que cada parcial del orden natural de la topología, la parte inferior del cono de la topología, donde el abrir los conjuntos son simplemente aquellos que están cerrados a la baja con respecto a la orden, podemos colocar esta topología en el espacio de las particiones. En su caso, el abierto de conjuntos de particiones serían los que se incluyen todas las mejoras de cualquier partición en el conjunto.
Esta topología compacto---en los casos de $X$ $Y$ y también en el caso de que el conjunto de todas las particiones---simplemente porque hay una más áspero de la partición, la partición con sólo uno de los componentes que consiste en el conjunto. La única vecindario de esta partición en la parte inferior del cono de la topología es la totalidad del espacio de las particiones, ya que cada partición refina.
En segundo lugar, una diferente topología de doble surgiría de girar la orden al revés, y para que, al abrir los conjuntos sería cerrado bajo encoarsening en lugar de refinamiento. Esta topología también es compacto, ya que no hay un mejor topología, consistentes en la recogida de los embarazos únicos, y cada partición es más grueso que el de ella.
Tenga en cuenta que el espacio de todas las particiones, a pesar de su comentario en su complejidad, en realidad exhibe mucho más bonito entramado teórico de las propiedades de la Borel particiones o medibles particiones. Esto es porque el espacio de todas las particiones es en realidad un completo entramado. Esto es debido a que los familiares de las particiones tiene un común más grande de refinamiento, obtenidas simplemente por la intersección de las relaciones de equivalencia como conjuntos de pares ordenados. Del mismo modo, uno puede tomar la relación de equivalencia generada por cualquier familia de particiones para encontrar el mínimo común encoarsening.
Otro de los naturales de la topología surge en la clase de las relaciones de equivalencia diciendo que el básico de un conjunto abierto es determinada por un número finito de equivalencias y no de las equivalencias. Así, se especifica un número finito de equivalencia y no equivalencia de los puntos $x_i\sim x_j$, $y_s\not\sim y_t$, y, a continuación, el básico conjunto abierto es el conjunto de todas las particiones que respeta a aquellos con un número finito de requisitos. Este es un tipo común de topología lugar en el conjunto de modelos de primer orden de la teoría, donde el abierto básicos de los conjuntos de especificar finitely cantidad de información acerca de los predicados de la modelo; la colección de particiones cantidades a la colección de las relaciones de equivalencia, que es de primer orden.
Uno puede imaginar más elaborada de las topologías en esta línea, que tome más en cuenta su contexto de Lebesgue medible o Borel particiones, moviendo más allá de un número finito de puntos para el caso de un número finito de requisitos en los conjuntos de Borel, o en conjuntos medibles.
Sería, por supuesto, dependerá de su propósito con la topología para saber cuál es el mejor para ese propósito.
Por último, permítanme mencionar que el buen desarrollo de la teoría de Borel las relaciones de equivalencia está profundamente preocupado con el espacio de Borel particiones de los reales, pero no exactamente en el sentido. Lo que se requiere generalmente en que la teoría no es sólo que cada elemento de la partición es de Borel, es decir, que cada clase de equivalencia es Borel, sino que insiste en que el binario relación a sí mismo, considerado como un subconjunto del plano, debe ser Borel. Esta es una más uniforme de la clase de Borel, y la teoría es extremadamente robusto y activo.
