Si los números complejos $0$ , $z_1$ , $z_2$ y $z_3$ son cíclicos, demuestre que $\frac{1}{z_1}$ , $\frac{1}{z_2}$ , $\frac{1}{z_3}$ son colineales.
Realmente no consigo llegar a ninguna parte en este problema, pero todo lo que he deducido es que podría haber alguna relación entre las propiedades de la geometría del círculo y los argumentos de los números complejos.
La transformación $z\to\frac{1}{\bar{z}}$ es una inversión a través del círculo unitario: la conjugación mantiene la imagen en el mismo argumento que la preimagen. La inversión a través del círculo unitario mapea líneas y círculos a líneas y círculos, con sólo las líneas y círculos que pasan a través de $0$ (el centro del círculo unitario) mapeando a líneas.
$z\to\frac{1}{z}$ puede considerarse como la inversión a través del círculo unitario compuesta por una reflexión sobre el eje real (conjugación compleja $z\to\bar{z}$ ).
La forma "madura" de pensar en esto es como una función en la esfera de Riemann - este es el plano complejo estándar con un punto $\infty$ también llamado "plano complejo extendido". La función $1/z$ es un caso especial de lo que se denomina transformación fraccionaria lineal - todas ellas son funciones de la forma $\frac{az+b}{cz+d}$ donde los coeficientes están en $\mathbb{C}$ . Una propiedad de las transformaciones lineales fraccionarias es que envían "círculos generalizados" a "círculos generalizados", donde un círculo generalizado es un círculo normal o una recta (una recta se llama círculo generalizado porque se puede ver como un círculo que pasa por el punto en el infinito).
En este caso, vemos que nuestro círculo a través de 0 será enviado a través de un "círculo a través del infinito" porque definimos $1/0$ ser $\infty$ aquí. Así que sus cuatro puntos serán enviados a una línea, y en particular, $1/z_1$ , $1/z_2$ y $1/z_3$ serán colineales.
Las transformaciones lineales fraccionarias y sus propiedades son un tema estándar en el análisis complejo, y ni siquiera hace falta saber análisis para demostrar la propiedad que acabo de mencionar. Cualquier texto estándar sobre análisis complejo debería tener la demostración. Te sugiero que busques una copia del libro de Gamelin, si te interesa.
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