Cómo es $3 + 4\cos \theta + \cos 2\theta \geq 0$ relacionado a $\zeta(s)^3|\zeta(s + it)^4\zeta(s + 2it)| \geq 1$?

Question

La desigualdad

$$\zeta(s)^3 | \zeta(s + it)^4 \zeta(s + 2it)| \ge 1$$

sigue a partir de la

$$3 + 4 \cos(\theta) + \cos(2 \theta) \ge 0.$$

¿Cómo se hace eso? ¿Cuál es la relación entre zeta y la trigonometría?

Answer 1

Sólo en caso de que, todo el mundo recuerdan la notación $s=\sigma+it$ para denotar los números complejos.

La desigualdad que se busca es la

$$|\zeta(\sigma)^3 \zeta(\sigma + it)^4 \zeta(\sigma + 2it)| \geq 1.$$

para $\sigma>1$. A partir de esto podemos probar el Teorema de los números Primos (mediante una integral de contorno y algunos de los límites de conmutación), porque muestra que la función zeta no tiene ceros en la línea de $\sigma=1$. Para ver por qué, contar los ceros del numerador y los ceros del denominador al $\sigma\rightarrow 1$. Vemos que un cero en $1+it$ obligaría a un poste para existir en $1+2it$, pero eso es imposible, ya que el único polo de $\zeta(s)$$s=1$.

Entonces, ¿por qué se sigue de la identidad trigonométrica

$$3 + 4 \cos(\theta) + \cos(2 \theta) \ge 0?$$

En primer lugar tomar logaritmos. A continuación, el anterior es equivalente a mostrar que la $$3\log|\zeta(\sigma)|+4\log|\zeta(\sigma+it)|+\log|\zeta(\sigma+2it)|\geq 0.$$

Recordemos que $\log|z|=\Re(\log z)$ $\Re(z)+\Re(w)=\Re(w+z)$ donde $\Re(z)$ denota la parte real de la $z$. Por lo tanto tenemos que mostrar que

$$\Re \left(3\log\zeta(\sigma)+4\log\zeta(\sigma+it)+\log\zeta(\sigma+2it)\right) \geq 0.$$

Ahora ya $$\log(\zeta(s))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log n}n^{-s}$$ al $\sigma>1$ donde $\Lambda(n)$ es la de Von Mangoldt Función Lambda, la agrupación de las sumas de los cambios de la mano izquierda en

$$\Re \left(\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log n}\left( 3n^\sigma+4n^{\sigma+it}+n^{\sigma+2it} \right) \right).$$

Ya que todo es suficientemente convergente, podemos traer a $\Re$ dentro de la suma para obtener $$\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log n}\Re\left( 3n^\sigma+4n^{\sigma+it}+n^{\sigma+2it} \right) \right)$$

Ahora, observe $\Re(n^{x+iy})= n^{x}\cos(y\log n)$, por lo que la anterior se convierte en

$$\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log n} n^{-\sigma}\left(3+4\cos(t\log n)+\cos(2t\log n) \right) \right)$$

Por último, el término anterior debe ser mayor o igual a cero, ya que cada término de la suma es no negativo. Por lo tanto llegamos a la conclusión de

$$\Re \left(3\log\zeta(\sigma)+4\log\zeta(\sigma+it)+\log\zeta(\sigma+2it)\right) \geq 0$$ y por lo tanto

$$|\zeta(\sigma)^3 \zeta(\sigma + it)^4 \zeta(\sigma + 2it)| \geq 1$$ como se desee.

Espero que ayude,

Answer 2

La desigualdad que el estado no parece tener demasiado sentido.

De todos modos, usted puede encontrar una discusión relacionada con en el libro de Riemann Zeta Función, por H. M. Edwards en las páginas 79/80.

Búsqueda de libros de Google link: http://books.google.com/books?id=ruVmGFPwNhQC&pg=PA79

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Espero que ayude.