11 votos

¿Hay alguna motivación para el Lemma de Zorn?

He estado leyendo el libro de Kreyszig sobre análisis funcional, donde utiliza el lema de Zorn para demostrar el teorema de Hahn Banach. Sin embargo no entiendo muy bien lo que dice el lema de Zorn.

Entiendo que es un axioma y que es equivalente al axioma de elección, pero el axioma de elección me parece mucho más intuitivo. Entonces, ¿hay alguna forma de entender el lema de Zorn de forma más intuitiva?

17voto

sewo Puntos 58

Tuve un problema conceptual similar hasta que encontré la entrada del blog de Tim Gowers sobre Cómo utilizar el lema de Zorn . Su tesis principal:

Si está construyendo un objeto matemático por etapas y se da cuenta de que (i) no ha terminado ni siquiera después de infinitas etapas, y (ii) no parece haber nada que le impida seguir construyendo, entonces el lema de Zorn puede ayudarle.

Muestra cómo utilizar el lema en una serie de casos en los que mi enfoque intuitivo habría sido algo así como "ah, pero podemos construir la cosa por inducción transfinita... encontremos un ordinal suficientemente grande para inducir sobre (trabajo, trabajo, trabajo)... y luego fijemos una función de elección tal que podamos elegir en cada paso del camino (trabajo, trabajo, trabajo)... y si la cosa aún no está hecha cuando lleguemos al tope de nuestro ordinal elegido, sería (trabajo, trabajo) una contradicción" .

En comparación con esto, el lema de Zorn incluye una gran cantidad de argumentos en una herramienta simple, ordenada y reutilizable en la que sólo hay que especificar las propiedades mínimas de la situación para que la construcción funcione. En particular, la condición aparentemente mal motivada sobre las cadenas es exactamente lo que se necesita para que el tedioso argumento de la inducción transfinita siga funcionando cuando llegamos a un ordinal límite.

9voto

Homer Puntos 198

Esta entrada del blog de Tim Gowers tiene una buena discusión.

Supongamos que tenemos un proceso de elección de elementos de un conjunto parcialmente ordenado, y nada parece impedir que elijamos elementos cada vez más grandes, sin importar cuántos elementos tengamos ya. El Lemma de Zorn dice que el proceso debe detenerse.

Por ejemplo, para demostrar que todo espacio vectorial tiene una base: Empezar con el conjunto vacío, y seguir añadiendo elementos que sean linealmente independientes de los elementos existentes. No importa lo grande que sea el conjunto, si no es ya una base, entonces puedes añadirle otro elemento, incluso después de infinitos pasos: Si $X$ es un subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorial $V$ Entonces, o bien $X$ es una base, o bien (no importa lo grande que sea $X$ es), existe algún $x \in V$ que es independiente de $X$ y puedes añadirlo a $X$ para obtener un conjunto mayor linealmente independiente. El Lemma de Zorn dice que este proceso debe terminar, en cuyo punto se tiene una base.

De hecho, esta descripción intuitiva puede convertirse en una prueba del lema de Zorn: Sea $X$ sea un conjunto parcialmente ordenado no vacío en el que cada subconjunto totalmente ordenado tiene un límite superior. Supongamos que $X$ no tiene ningún elemento máximo. Elija $x_1 \in X$ . No es máximo, por lo que puedo encontrar $x_2 > x_1$ . Pero $x_2$ no es máxima, por lo que puedo encontrar $x_3 > x_2$ etc., lo que lleva a $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < \ldots$ Estos $x_i$ forman un subconjunto totalmente ordenado, por lo que existe un elemento $x_\omega$ dominando a todos ellos. Pero $x_\omega$ no es máxima, por lo que existe $x_{\omega+1}$ etc. Nada me impide obtener un $x_\alpha \in X$ para cada ordinal $\alpha$ . Pero el tamaño de todo conjunto está acotado por un ordinal fijo (véase el Paradoja Burali-Forti ), contradicción.

5voto

DanV Puntos 281

El lema de Zorn, en palabras sencillas, nos dice que si toda cadena tiene un límite superior entonces hay un elemento maximal. Éste no es necesariamente un máximo y puede haber muchos elementos maximales.

El hecho de que necesitemos este lema para empezar es que el "camino" hacia ese elemento maximal puede ser muy no constructiva, y necesitamos afirmar su existencia utilizando el axioma de elección.

Si quieres intentar entenderlo un poco mejor, intenta comparar las distintas equivalencias (al menos las principales) con el axioma de elección:

  1. El axioma de elección: el producto de toda familia de conjuntos no vacíos es no vacío.
  2. El principio de ordenación del pozo: para todo conjunto existe una ordenación que es una ordenación del pozo.
  3. Lema de Zorn: Si tenemos un poset en el que toda cadena está acotada entonces hay un elemento maximal.
  4. Principio de maximalidad de Hasudorff: En un poset toda cadena está contenida en una cadena maximal.

Hay muchos muchos más equivalentes (todo espacio vectorial tiene una base; en un poset toda anticadena está contenida en una anticadena máxima; todo conjunto infinito es equipolente con su cuadrado; etc. etc.)

La plétora de equivalencias sólo nos dice que el axioma de elección puede formularse de muchas maneras diferentes en muchos campos distintos de las matemáticas. El lema de Zorn es una afirmación teórica del orden.

He escrito una prueba de la equivalencia aquí si no has visto esa prueba antes.

5voto

Michael Greinecker Puntos 19016

Dejemos que $F$ sea un conjunto finito y $\leq$ una orden parcial en $F$ . Entonces hay un $\leq$ -elemento máximo en $F$ .

Prueba: Supongamos que no. Entonces para cada $x\in F$ hay $x'\in F$ con $x'>x$ . Así que puedes construir una secuencia $(x_1,x_2,x_3,\ldots)$ con $x_{n+1}>x_n$ para todos $n$ y todos los términos son distintos, contradiciendo la finitud de $F$ .

Ahora bien, esta prueba obviamente no funciona para conjuntos infinitos y hay infinitos conjuntos parcialmente ordenados sin un elemento máximo. Pero hagamos la suposición del lema de Zorn de que toda cadena tiene un límite superior y veamos qué podemos hacer con él.

Supongamos que hemos creado la secuencia $(x_1,x_2,\ldots)$ en un conjunto infinito parcialmente ordenado $(X,\leq)$ satisfaciendo la condición del lema de Zorn pero sin un elemento máximo (utilizamos el axioma de elección para elegir elementos cada vez más grandes). Tal secuencia es consistente. Pero el conjunto $\{x_1,x_2,\ldots\}$ es una cadena, por lo que hay un elemento mayor que cada elemento de esta secuencia. Ahora empleamos la pesada maquinaria de la teoría de conjuntos, la teoría de ordinales para crear una secuencia transfinita de la forma $(x_1,x_2,\ldots,x_\omega)$ Dado que no hay ningún elemento máximo, podemos construir una secuencia transfinita mayor $(x_1,x_2,\ldots,x_\omega,x_{\omega+1})$ . Y podemos proceder así para obtener secuencias transfinitas cada vez más grandes, y todos los términos son siempre distintos. Finalmente, obtenemos una secuencia transfinita con más términos distintos que elementos en $X$ , lo que nos da una contradicción.

El axioma de elección se utiliza para seleccionar para cada elemento uno mayor. En el caso finito, esta selección existe sólo por inducción.

Esto puede convertirse en una prueba rigurosa. Un libro accesible que contiene esta prueba es, por ejemplo, "Introducción a la teoría de conjuntos" de Jech y Hrbacek.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X