Dejemos que $F$ sea un conjunto finito y $\leq$ una orden parcial en $F$ . Entonces hay un $\leq$ -elemento máximo en $F$ .
Prueba: Supongamos que no. Entonces para cada $x\in F$ hay $x'\in F$ con $x'>x$ . Así que puedes construir una secuencia $(x_1,x_2,x_3,\ldots)$ con $x_{n+1}>x_n$ para todos $n$ y todos los términos son distintos, contradiciendo la finitud de $F$ .
Ahora bien, esta prueba obviamente no funciona para conjuntos infinitos y hay infinitos conjuntos parcialmente ordenados sin un elemento máximo. Pero hagamos la suposición del lema de Zorn de que toda cadena tiene un límite superior y veamos qué podemos hacer con él.
Supongamos que hemos creado la secuencia $(x_1,x_2,\ldots)$ en un conjunto infinito parcialmente ordenado $(X,\leq)$ satisfaciendo la condición del lema de Zorn pero sin un elemento máximo (utilizamos el axioma de elección para elegir elementos cada vez más grandes). Tal secuencia es consistente. Pero el conjunto $\{x_1,x_2,\ldots\}$ es una cadena, por lo que hay un elemento mayor que cada elemento de esta secuencia. Ahora empleamos la pesada maquinaria de la teoría de conjuntos, la teoría de ordinales para crear una secuencia transfinita de la forma $(x_1,x_2,\ldots,x_\omega)$ Dado que no hay ningún elemento máximo, podemos construir una secuencia transfinita mayor $(x_1,x_2,\ldots,x_\omega,x_{\omega+1})$ . Y podemos proceder así para obtener secuencias transfinitas cada vez más grandes, y todos los términos son siempre distintos. Finalmente, obtenemos una secuencia transfinita con más términos distintos que elementos en $X$ , lo que nos da una contradicción.
El axioma de elección se utiliza para seleccionar para cada elemento uno mayor. En el caso finito, esta selección existe sólo por inducción.
Esto puede convertirse en una prueba rigurosa. Un libro accesible que contiene esta prueba es, por ejemplo, "Introducción a la teoría de conjuntos" de Jech y Hrbacek.