El número de raíces reales de $1+x/1!+x^2/2!+x^3/3! + \cdots + x^6/6! =0$

Question

Intentos hasta ahora:

Descartes usado firma cosas para que el posible número de raíces reales sea $6,4,2,0$ trató de diferenciar la ecuación $4$ y tiene una ecuación sin raíces, lo que demuestra que por encima del polinomio tiene $4$ raíces reales.

Pero usando calculadoras en línea no tengo ninguna raíz real. ¿En qué me equivoco?

Answer 1

Deje que $E_n(x):= \sum_ {k=0}^n\, \frac {x^k}{k!}$ para $n=0,1,2, \ldots$ . Demostraremos que $E_n(x)$ no tiene verdaderas raíces si $n$ es parejo, y $E_n(x)$ tiene exactamente una raíz real, que es simple, si $n$ es impar.

Supongamos que $n$ es parejo. Claramente, $E_n(x)$ no tiene raíces en $\mathbb {R}_{ \geq 0}$ . Por el Teorema de Taylor, tenemos $\exp (x)=E_n(x)+R_n(x)$ donde el plazo restante viene dado por $$R_n(x)= \int_0 ^x\, \frac { \exp ^{(n+1)}(t)}{n!}\,(x-t)^n\, \text {d}t= \int_0 ^x\, \frac { \exp (t)}{n!}\,(x-t)^n\, \text {d}t\,.$$ Si $x<0$ Entonces $$R_n(x)=- \int_0 ^{|x|}\, \frac { \exp (-t)}{n!}\,|x+t|^n\, \text {d}t<0\,.$$ Eso es, $$E_n(x)= \exp (x)-R_n(x)> \exp (x)>0$$ para todos $x<0$ . Eso es, $E_n(x)$ tampoco tiene raíces negativas; es decir, $E_n(x)$ no tiene verdaderas raíces.

Si $n$ es impar, entonces $E'_n(x)=E_{n-1}(x)$ no tiene verdaderas raíces. Por lo tanto, $E_n(x)$ puede tener como mucho una raíz real, debido al Teorema de Rolle. Claramente, $E_n(x)$ tiene una raíz real, siendo un polinomio en $\mathbb {R}[x]$ de un grado impar. Por consiguiente, $E_n(x)$ tiene exactamente una raíz real, que es simple.

Answer 2

Podemos calcular el número de raíces reales usando Teorema de Sturm . $$\begin {array}{rll} \text {Sturm Chain}&+ \infty &- \infty\\\hline x^6+6x^5+30x^4+120x^3+360x^2+720x+720&+ \infty &+ \infty\\ 6x^5+30x^4+120x^3+360x^2+720x+720&+ \infty &- \infty\\ -5x^4-40x^3-180x^2-480x-600&- \infty &- \infty\\ -48x^3-432x^2-1728x-2880&- \infty &+ \infty\\ 45x^2+360x+900&+ \infty &+ \infty\\ 384x+1920&+ \infty &- \infty\\ -225&-225&-225 \end {array}$$ Hay $3$ cambios de signo en $+ \infty$ y $3$ cambios de signo en $- \infty$ . Por lo tanto, no hay raíces reales.

Answer 3

$$\begin {align} \sum_ {i=1}^6 \dfrac {x^i} {i!} &= \dfrac 1 {720} \cdot (x^6+6x^5+30x^4+120x^3+360x^2+720x+720= \\ &= \dfrac 1 {720} \cdot \{x^4(x+3)^2+20x^2(x+3)^2+x^4+180x^2+720x+720\} \end {align}$$

Se puede probar fácilmente que $x^4+180x^2+720x+720 > 0$ usando el derivado. Por lo tanto, no hay raíces reales.

Answer 4

deja $y = 1+x/1!+x^2/2!+x^3/3! + \cdots + x^6/6! .$ está claro que $y \ge 1$ para todos $x \ge 0.$ mostraremos que $y(a) > 0$ para $a < 0$ y eso probará que $y$ nunca es cero.

elige una $a < 0.$ tenemos $$y' = y - x^6/6!, \space y(0) = 1. \tag 1$$

reordenación $(1)$ y multiplicando por $e^{-x}$ da $$(ye^{-x})' = -x^6e^{-x}/6!.$$ integrando la última ecuación de $a$ a $0$ tenemos $$1-y(a)e^{-a}=- \int_a ^0 x^6e^{-x}/6!\, dx \to y(a)e^{-a} = 1+ \int_a ^0 x^6e^{-x}/6!\, dx > 0$$

por lo tanto $y(a) > 0$ y eso concluyó la afirmación de que $y > 0$ para todos $x.$

Answer 5

Creo que la noción de que el cuarto derivado que no tiene raíces reales prueba que el polinomio en sí mismo tiene cuatro raíces reales es su problema. ¿Puede explicar su razonamiento un poco más? Quiero decir, $x^6+x^4+1$ claramente no tiene raíces reales (es positivo en todas partes), pero su cuarto derivado $360x^2+24$ tampoco tiene verdaderas raíces (es igualmente positivo en todas partes).

El polinomio de su problema no tiene raíces reales.