Cuanto más rápido vayas, menos velocidad de la que teóricamente se puede obtener de una asistencia gravitatoria.
La razón de esto es que cuanto más rápido vayas más difícil es doblar la órbita. Para prueba de esto, tenemos que utilizar el parcheado cónicas aproximación, lo que significa que dentro de una esfera de las órbitas de Kepler puede ser utilizado. La esfera puede ser simplificado a ser infinitamente grande, ya que la flexión de la real parchado cónica casi no se ven afectados por esto. Mientras que la excentricidad es baja (igual o mayor que uno, ya que tienen una vía de escape de la trayectoria) la trayectoria será capaz de ser curva de 360° de manera efectiva revertir la velocidad relativa de la nave espacial con el cuerpo celeste, por lo que el cambio en la velocidad sería el doble que la velocidad relativa, que también es el máximo teórico de ganancia. Cuando la excentricidad aumenta este ángulo disminuye. Este ángulo puede ser derivada a partir de la siguiente ecuación:
$$
r = \frac{a(1-e)^2}{1+e\cos(\theta)}
$$
donde $r$ es la distancia desde la nave espacial para el centro de masa del cuerpo celeste, $a$ es el semi-eje mayor, $e$ es la excentricidad y $\theta$ es la verdadera anomalía. El semi-eje mayor y la excentricidad debe permanecer constante durante la trayectoria, por lo que la radio sólo sería una función de la verdadera anomalía, que es por definición igual a cero en el periapsis y, por tanto, la cantidad máxima de flexión será aproximadamente el doble de la verdadera anomalía en $r=\infty$, lo que significa que
$$
\theta_{\infty} = \lim_{r \to \infty} \cos^{-1}\left(\frac{a(1-e)^2-r}{er}\right) = \cos^{-1}(-e^{-1})
$$
Cuando la excentricidad se pone muy alto este ángulo será de 180°, lo que significa que la trayectoria es básicamente una línea recta.
Hay varias maneras de alterar la excentricidad. En este caso las variables relevantes serían:
- El hiperbólico exceso de velocidad, $v_\infty$, que será igual a la velocidad relativa a la que la nave espacial "encuentros" el cuerpo celeste, con esto quiero decir que la esfera de los cuerpos celestes es muy pequeña en comparación con la escala de las órbitas de los cuerpos celestes alrededor del sol, por lo tanto la velocidad relativa se puede aproximar con la diferencia de la velocidad de la órbita respecto al sol, aproximó con una Kepler de la órbita en un encuentro entre los dos cuando se utiliza una trayectoria ignorar la interacción entre ellos.
- La altura de la periapsis, $r_p$, que es básicamente limitada por el radio del cuerpo celeste (superficie o el exterior de la atmósfera).
- El parámetro gravitacional de los cuerpos celestes, $\mu$.
$$
e = \frac{r_p v_\infty^2}{\mu} + 1
$$
El parámetro gravitacional es sólo un hecho de un determinado cuerpo celeste, ya que un menor excentricidad es deseable, por lo tanto el periapsis se debe establecer en su límite inferior, el radio del cuerpo celeste. De esta manera la excentricidad es sólo una función de hiperbólico exceso de velocidad y por lo tanto la velocidad relativa de la nave espacial con el cuerpo celeste.
Con un poco más de matemáticas se puede demostrar lo que el cambio en la velocidad sería después de un cierre de asistencia gravitatoria. Para ello utilizo un sistema de coordenadas con un vector unitario paralelo a la dirección de la relativa encuentro de velocidad, $\vec{e}_{\parallel}$, y un vector unitario perpendicular, $\vec{e}_{\perp}$:
$$
\Delta \vec{v} = -v_\infty \left(\left(\cos{\left(2\theta_\infty \right)}+1\right)\vec{e}_{\paralelo} + \sin{\left(2\theta_\infty\right)}\vec{e}_{\asesino}\right) = \frac{2{\|\vec{v}_\infty\|}}{\left(\frac{r_p v_\infty^2}{\mu} + 1\right)^2} \left(\sqrt{\frac{r_p v_\infty^2}{\mu}\left(\frac{r_p v_\infty^2}{\mu}+2\right)}\vec{e}_{\asesino} - \vec{e}_{\paralelo}\right)
$$
$$
{\|\Delta \vec{v}\|} = \frac{2\mu v_\infty}{r_p v_\infty^2 + \mu}
$$
Al trazar estos valores para la Tierra, por lo $\mu = 3.986004\times 10^{14}\frac{m^3}{s^2}$ $r_p = 6.381\times 10^{6}m$ (he usado la radio ecuatorial además de la altitud a la que un efecto atmosférico puede ser descuidado, 300 km), obtendrá los siguientes resultados:
![Gained velocity from gravity assist.]()
Si quieres un tan alto como sea posible de la velocidad, entonces usted quiere que este cambio en la velocidad sería en la dirección de su velocidad alrededor del sol. Si usted tiene el tiempo suficiente y la órbita excéntrica suficiente para que se cruza varias órbitas de los cuerpos celestes, a continuación, hay un montón de posibilidades, pero tan pronto como usted tiene un escape de la trayectoria del sol, básicamente, pasar por cada cuerpo celeste en la mayoría de los una vez más.
Si lo que desea es obtener un alto posible de la velocidad es posible que desee obtener más cerca del sol en un muy órbita excéntrica, ya que su "superficie" velocidad de escape es $617.7 \frac{km}{s}$.
