Ejemplos de categorías donde epimorphism no tiene derecho inversa, no surjective

Question

Epimorphism se definen de la siguiente manera: $f \in \operatorname{Hom}_C(A,B)$ es epimorphism si $\forall Z. \forall h', h'' \in \operatorname{Hom}_C(B, Z)$ el siguiente se tiene: $h' f = h'' f \; \Rightarrow \; h' = h''$.

No puedo pensar en ejemplos en los que epimorphism no tienen derecho inversa.

También, si entiendo correctamente, epimorphism no es surjective en las categorías en las que no podemos hablar de surjection (donde los objetos no tienen estructura interna?).

Gracias de antemano.

Answer 1

Tome la categoría de un conjunto parcialmente ordenado; cada flecha es una epimorphism, pero no la no-identidad flecha tiene un derecho inversa.

Para un hormigón categoría (los objetos son conjuntos y morfismos son las funciones entre los conjuntos subyacentes), tome la categoría de Hausdorff espacios topológicos; un epimorphism es un mapa continuo con imagen densa. Considere la posibilidad de $\mathbb{Q}\hookrightarrow \mathbb{R}$. Este es un epimorphism, pero no se retraiga (sin derecho a la inversa). O el mapa de $[0,2\pi)\to S^1$$t\mapsto (\cos t,\sin t)$. Si tuviera un derecho inversa en la categoría, a la inversa sería un bijection, por lo tanto tendríamos homeomorphisms, sino $[0,2\pi)$ $S^1$ no homeomórficos.

Por otro, tome $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ en la categoría de anillos con unidad. Este es un epimorphism, pero no tiene derecho inversa.

Incluso en categorías concretas donde todos los epis son surjective, usted no necesita tener derecho a la recíproca. En la categoría de grupos, un epimorphism $G\to K$ tiene un derecho inversa si y sólo si $G$ es un semidirect producto $G\cong N\rtimes K$. Así que tome $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ para un surjective de morfismos (por lo tanto, un epi) sin derecho inversa en la categoría.

Answer 2

Deje $ \textbf{Ring}_{\text{Assoc}} $ ser de la categoría de los asociativa (no necesariamente unital) los anillos. Tomamos el morfismos en esta categoría a los mapas entre asociativa anillos que preservar el anillo de la suma y el anillo de la multiplicación. Tenga en cuenta que es irrelevante hablar de la unidad de preservación de mapas en esta categoría como anillos no puede ser unital.

Ahora, vamos a $ i: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} $ ser la inclusión del mapa. Nos dicen que es un epimorphism. Deje $ f,g: \mathbb{Q} \rightarrow R $ dos morfismos de $ \mathbb{Q} $ a otro anillo de $ R $ tal que $ f \circ i = g \circ i $. Por lo tanto, $ f(n) = g(n) $ todos los $ n \in \mathbb{Z} $. Deje $ \dfrac{a}{b} \in \mathbb{Q} $. Entonces \begin{align} f \left( \frac{a}{b} \right) &= f \left( \frac{1}{b} \cdot a \right) \\ &= f \left( \frac{1}{b} \right) *_{R} f(a) \\ &= f \left( \frac{1}{b} \right) *_{R} g(a) \\ &= f \left( \frac{1}{b} \right) *_{R} g \left( b \cdot \frac{a}{b} \right) \\ &= f \left( \frac{1}{b} \right) *_{R} \left[ g(b) *_{R} g \left( \frac{a}{b} \right) \right] \\ &= f \left( \frac{1}{b} \right) *_{R} \left[ f(b) *_{R} g \left( \frac{a}{b} \right) \right] \\ &= \left[ f \left( \frac{1}{b} \right) *_{R} f(b) \right] *_{R} g \left( \frac{a}{b} \right) \\ &= f \left( \frac{1}{b} \cdot b \right) *_{R} g \left( \frac{a}{b} \right) \\ &= f(1) *_{R} g \left( \frac{a}{b} \right) \\ &= g(1) *_{R} g \left( \frac{a}{b} \right) \\ &= g \left( 1 \cdot \frac{a}{b} \right) \\ &= g \left( \frac{a}{b} \right). \end{align} Por lo tanto, $ f = g $, lo que implica que $ i: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} $ es de hecho un epimorphism. Este resultado refuerza la mencionada por Arturo arriba.

Answer 3

Deje $C$ ser la categoría que contiene un objeto de $\mathbb Z$, y morfismos de ser las funciones de $f_n(z)=nz$$n\in\mathbb Z^+$. A continuación,$f_n\circ f_m = f_{nm}$, y podemos ver que:

$$f_n\circ f_k = f_n\circ f_l \implies f_k=f_l$$

Y del mismo modo:

$$f_k\circ f_n = f_l\circ f_n \implies f_k=f_l$$

Así que cada $f_n$ es un epimorphism y un monomorphism, pero sólo $f_1$ tiene a la izquierda o a la derecha inversa. Tenga en cuenta que $f_n$ nunca surjective, si $n>1$, aunque se trata de una epimorphism.

Si se definen $C'$ en el mismo camino, pero con el objeto de $\mathbb Q$ y, por $n\in\mathbb Z^+$, $f_n(q)=nq$ se define como una función en $\mathbb Q$, entonces esta nueva categoría es (en cierto sentido) isomorfo a $C$, y todas las funciones son surjective y inyectiva.