Lo que constituye un axioma - Spivak Cálculo ch. 1

Question

En el capítulo 1 de Spivak de Cálculo del texto que establece algunas fundamental de los axiomas de los números enteros. Por ejemplo: $a \cdot 1 = a$, para todos los $a$. Sin embargo, él no muestra un axioma que afirma, por ejemplo,: $a \cdot 0 = 0$, para todos los $a$. Esto parece un poco arbitrario. Puede que se derivan de $a \cdot 0 = 0$ de Spivak otros axiomas? En la página $6$ solo dice que $a \cdot 0 = 0$, para todos los $a$, sin explicación.

También él parece estar dando por sentado que si $a = b$,$a + c = b + c$. Otro axioma implícito.

¿Por qué no hablar de estos "implícito axiomas" de forma explícita?

Answer 1

Primero de todo, si uno es la descripción de los números enteros axiomáticamente, el axioma es que no se que "$a\cdot 1=a$ todos los $a$", sino que no existe un número "$1$" que tiene esa propiedad (uno puede entonces proceder a demostrar que debe ser el único número con el que la propiedad).

Del mismo modo, la correspondiente axioma para la adición es que existe algún número "$0$" con la propiedad de que $a+0=a$ cualquier $a$.

Sin embargo, buscando en el libro, puedo ver que Spivak es el listado de las propiedades de los números enteros, algunos formulada como axiomas, pero él está tomando los números enteros como ya se ha de haber sido construido, de modo que él no necesita decir las cosas de la manera que lo hice anteriormente. Por ejemplo, él dice

En cualquier caso, para responder a su primera pregunta, por el axioma de que la multiplicación distribuye sobre la suma, sabemos que para cualquier $a$ hemos $$a\cdot (0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0$$ Pero $0+0=0$ porque $0$ (por definición) es un aditivo de identidad, por lo que $$a\cdot 0=a\cdot 0+a\cdot 0$$ Lo $a\cdot 0$ es, sabemos que tiene un inverso aditivo, que ahora podemos agregar a ambos lados: $$(a\cdot 0)+(-(a\cdot 0))=(a\cdot 0)+(a\cdot 0)+(-(a\cdot 0))$$ $$0=(a\cdot 0)+0$$ $$0=a\cdot 0$$ También, la declaración de que $a=b$ significa que son idénticos, que no es un número único que nos han dado dos nombres diferentes. Cualquier expresión que implique $a$ puede tener $b$ sustituido por $a$ en ella, y viceversa. Eso es simplemente lo que la igualdad significa - no es simple axioma.

Answer 2

No hay un estándar de prueba de que $a\cdot 0=0$. Observe que $a\cdot (0)=a\cdot (0+0)=a\cdot (0)+a\cdot (0)$. Restando la izquierda desde el lado derecho da el resultado deseado.

El otro resultado depende de los otros axiomas utilizados.

Answer 3

No he leído Spivak, pero me imagino que los axiomas de los números enteros que él se refiere son sólo los axiomas de un anillo conmutativo. Si se mira por encima de todas estas, creo que vamos a ver por qué cada uno es necesario. Probablemente él escribe $a + 0 = a$ todos los $a \in \mathbb{Z}$. Esta es la definición de $0$. Él también, probablemente, escribe $a + (-a) = 0$ todos los $a \in \mathbb{Z}$. Esta es la definición de $-a$. Me imagino que él también habla sobre la distributividad, conmutatividad y la asociatividad. De todas estas cosas, tenemos todo lo que queremos.

La razón por la $a \cdot 0 = 0$ ha sido mencionado en los otros puestos. Uno podría dar primero el conjunto teórico de la construcción de la $\mathbb{Z}$ a demostrar que si $a=b$ $a+c=b+c$ todos los $a,b,c \in \mathbb{Z}$.

La respuesta a las preguntas que usted puede hacerse realidad sólo vienen a lo largo del tiempo, y en algún momento se acaba de "clics".