Hay asociativa bijections $f\colon \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$?

Question

Esta es mi primera pregunta y espero que esta pregunta no es demasiado breve para ser aceptable:

No son bien conocidos bijections $\mathbb{N \times N \to N}$ y conocido asociativo de las composiciones en countably conjuntos infinitos. ¿Qué pasa si combinamos las dos propiedades?

Hay un bijective función de $f\colon \mathbb{N \times N \to N}$ que también es asociativa: $$f(x,f(y,z)) = f(f(x,y),z)\quad\text{ for all } \quad x,y,z \in \mathbb{N}\:?$$

Gracias de antemano!

Answer 1

Supongamos $f$ es asociativa y bijective. Para cualquier $x,y, z \in \mathbb{N}$, $f(x,f(y,z))=f(f(x,y),z)$ por la asociatividad. Así por inyectividad tenemos $x=f(x,y), f(y,z)=z$ todos los $x, y, z$. Pero esto es imposible, ya que implica que, por ejemplo,$f(1,2)=1$$f(1,2)=2$.