Deje $A_0=\dfrac{3}{4}$, e $A_{n+1}=\dfrac{1+\sqrt{A_n}}{2}$ todos los $n\geq0$.
Cómo encontrar el valor de $\displaystyle\prod_{n=1}^\infty A_n$ ?
No tengo ninguna idea.
Gracias.
Respuesta
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Roger Hoover
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Si establecemos $A_n = \cos^2(\theta_n)$, obtenemos: $$ A_{n+1} = \frac{1+\cos(\theta_n)}{2} = \cos^2\left(\frac{\theta_n}{2}\right),$$ y desde $\theta_0=\frac{\pi}{6}$, la inducción se obtiene: $$ A_n = \cos^2\left(\frac{\pi}{6\cdot 2^n}\right)=\left(\frac{\sin\left(\frac{\pi}{6\cdot 2^{n-1}}\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{6\cdot 2^n}\right)}\right)^2 $$ a partir de la cual se deduce que: $$ \prod_{n=1}^{+\infty}A_n = \left(\frac{3}{\pi}\right)^2 = \color{red}{\frac{9}{\pi^2}}.$$
