Áreas versus volúmenes de revolución: ¿por qué el área requiere una aproximación por un cono?

Question

Supongamos que rotamos el gráfico de $y = f(x)$ alrededor del eje $x$ de $a$ a $b$. Entonces (usando el método del disco) el volumen es $$\int_a^b \pi f(x)^2 dx$$ ya que aproximamos una pequeña pieza como un cilindro. Sin embargo, si queremos encontrar el área de la superficie, entonces la aproximamos como parte de un cono y la fórmula es $$\int_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2} dx.$$ Pero si la aproximamos como un círculo con espesor $dx$ obtendríamos $$\int_a^b 2\pi f(x) dx.$$

Entonces mi pregunta es ¿por qué para el volumen podemos hacer la aproximación más burda de un disco pero para el área de la superficie no podemos?

Answer 1

El problema aquí es que el volumen se comporta bien bajo pequeñas deformaciones de regiones tridimensionales en 3D, pero el área superficial no lo hace. De manera similar, el área se comporta bien bajo pequeñas deformaciones de regiones bidimensionales en 2D, pero la circunferencia / longitud del arco no lo hace. Puedes ver la esencia del problema 2D, por lo tanto la esencia del problema 3D, en lo siguiente: la longitud de la diagonal desde $(0, 0)$ hasta $(1, 1)$ es $\sqrt{2}$, pero si aproximamos la diagonal con una "escalera" de líneas horizontales y verticales de longitud $\frac{1}{n}$ y dejamos que $n \to \infty$ obtenemos una longitud de $2$ en su lugar.

Answer 2

En el caso del volumen, el error es de segundo orden (básicamente se trata de un triángulo con lados $dx$ y $f'(x)dx$ que es despreciable en comparación con el cilindro que es de primer orden. Esto es igual que en el caso unidimensional, donde para medir el área (la integral estándar) se utilizan rectángulos, pero para medir la longitud del arco es necesario integrar $\sqrt{1+f'(x)^2}dx$, que es la hipotenusa del triángulo.

Answer 3

También podemos usar troncos de cono en lugar de discos cilíndricos para "mejorar" la aproximación exacta del volumen, pero el resultado final es el mismo. Se puede deformar un cilindro en un tronco de cono conservando su altura y volumen.

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Toma un pequeño intervalo $[x_1, x_2] \subset [a, b]$. El tronco construido sobre este intervalo tiene un volumen

$$V_{\rm tronco} = \frac{\pi}{3}\left({x_2}^3 - {x_1}^3\right)$$

Amplía el intervalo por una longitud corta $\Delta x$, de manera que obtendremos un tronco ligeramente más grande con volumen

$$V'_{\rm tronco} = \frac{\pi}{3} \left(\left(x_2+\Delta x\right)^3 - {x_1}^3\right)$$

El cambio neto en el volumen es

$$\Delta V = V' - V = \frac{\pi \Delta x}{3} \left(3{x_2}^2 + 3(\Delta x) x_2 + (\Delta x)^2\right)$$

Dividiendo ambos lados por $\Delta x$ y dejando que $\Delta x \to 0$ obtenemos

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta V}{\Delta x} = \frac{dV}{dx} = \pi {x_2}^2$$

A medida que aumentamos el número de troncos, $x_1 \to x_2$ y simplemente podemos escribir $x_2$ como $x$. Entonces el volumen del sólido es

$$V = \int dV = \int_{a}^{b} \pi x^2 \, dx$$

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Contrasta este proceso con discos cilíndricos, para los cuales podemos elegir

$$V_{\rm disco} = \pi {x_2}^2 (x_2 - x_1) \\ V'_{\rm disco} = \pi \left(x + \Delta x\right)^2 \left((x_2 + \Delta x) - x_1\right) \\ \Delta V = \pi \Delta x \left(3{x_2}^2-2x_1x_2+(3x_2-x_1)\Delta x + (\Delta x)^2\right) \\ \implies \frac{dV}{dx} = \pi \left(3{x_2}^2-2x_1x_2\right) \to \pi {x_2}^2$$