Superficie integral de $2x+y+2z=16$

Question

He aquí la pregunta:

Encontrar el área de la superficie de la parte del avión $2x+y+2z=16$ acotado por las superficies $x=0$, $y=0$ y $x^2+y^2=64$.

Así que, sé que tengo la parametrización de la superficie de la $S:\mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)$ y actualmente tengo es con parámetros como $\mathbf{x}(u,v)=(\sqrt{32}\cos{u},\sqrt{32}\sin{u},v)$ debido a que estamos tratando con un círculo de radio $8$ en el primer cuadrante (octantes 1 y 5). Si mi parametrización es correcta, entonces $$\left\lVert\frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u}\times \frac{\partial\mathbf{x}}{\partial u}\right\rVert=64.$$

Todavía estoy confundido acerca de los límites, aunque. Obviamente, $0\le u\le\pi/2$ pero, ¿qué acerca de la $v$?

Ayuda!

Gracias :)

Answer 1

La parametrización de $2x+y+2z=16$ acotado por las superficies $x=0$, $y=0$ y $x^2+y^2=64$ puede ser ingenuamente parametrizadas por: $$ S: \mathbf{\Phi}(x,y) = \left(x,y , \frac{16-2x-y}{2}\right), $$ ahora queremos encontrar los límites en las $x$$y$: para un punto en $x^2+y^2=64$ a $x$-coordinar, $0\leq x\leq 8$: $y = \sqrt{64-x^2}$. Por tanto, para un punto en la superficie de este: $$ 0\leq x\leq 8, \\ 0\leq y \leq \sqrt{64-x^2}. $$

Ahora la integral para calcular el área es: $$ A = \iint_S 1 \,dS = \int^8_0\int^{\sqrt{64-x^2}}_0 \left|\frac{\partial \mathbf{\Phi}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{\Phi}}{\partial y}\right| dydx = \int^8_0\int^{\sqrt{64-x^2}}_0\frac{3}{2}dydx = \frac{3}{2}\int^8_0 \sqrt{64-x^2}\,dx. $$ Esto es como la informática inclinado cara plana del área de $\{x\geq 0,y\geq 0: x^2+y^2\leq 64\}$ (se recomienda un bosquejo de la gráfica de sí mismo).