Problemas con la prueba de que $\ell^p$ es completa

Question

Luchando con la prueba de que $\ell^p$ es completa, miré pruebas diferentes por diferentes autores, y que terminó centrándose en la dada por Kreyszig en su clásico libro sobre el análisis funcional, porque me pareció que la mayoría de los vâzıhı para mi nivel. Aún así, hay algún punto que no son del todo claras, lo que voy a escribir aquí toda la prueba y voy a añadir mis comentarios y dudas.

[I]

Teorema: El espacio de $\ell^p$ es completa; aquí $p$ es fijo e $1 \leq p < \infty$.

Prueba: Vamos a $(x_n)$ ser cualquier secuencia de Cauchy en $\ell^p$ donde $x_m = ( \xi^{(m)}_1, \xi^{(m)}_2, \dots )$. A continuación, para cada $\varepsilon > 0 $ hay un $N$ tal que para todo $m, n >N$, \begin{equation} d ( x_m, x_n ) = \Bigg( \sum_{j=1}^\infty |\xi^{(m)}_j - \xi^{(n)}_j |^p \Bigg)^{\frac{1}{p}} < \varepsilon \hspace{2cm} \text{(1)} . \end{equation} Se sigue que para cada $j = 1,2, \dots$ tenemos para $m,n >N$ $$ |\xi^{(m)}_j - \xi^{(n)}_j | < \varepsilon \hspace{2cm} \text{(2)}. $$ We choose a fixed $j$. From (2) we see that $( \xi^{(1)}_j, \xi^{(2)}_j, \dots )$ es una secuencia de Cauchy de números. Es converge desde $\Re$ está completa, es decir $\xi^{(m)}_j \to \xi_j$ $m \to \infty$. Using these limits, we define $x = (\xi_1, \xi_2, \dots)$ y muestran que $x \in \ell^p$$x_m \to x$.

Esto se ve bien,

[II]

A partir de (1) tenemos para todos los $m,n >N$ $$ \sum_{j=1}^k |\xi^{(m)}_j - \xi^{(n)}_j |^p < \varepsilon^p \hspace{2cm} (k=1,2,\dots). $$

Primeros problemas!

Veo que el $\varepsilon^p$ viene, pero lo que me desconcierta es el $k$ sobre la parte superior de $\sum$. Veo que se trata de (1) (de hecho, si funciona para $j \to \infty$, entonces tiene que trabajar necesariamente finita $k$. Aún así, no veo por qué necesitamos para hacerlo.
¿Por qué no simplemente se adhieren a (1)?

[III]

Dejando $n \to \infty$, obtenemos para $m>N$ $$ \sum_{j=1}^k |\xi^{(m)}_j - \xi_j |^p \leq \varepsilon^p \hspace{2cm} (k=1,2,\dots). $$

Mismo problema que antes, además de la misteriosa $\leq$ entre LHS y RHS. De hecho, creo que la idea debe ser que la secuencia converge y es de Cauchy, por lo tanto el $\varepsilon > 0$ es el mismo que utilizamos en la definición de Cauchy de la secuencia, y en el límite estándar de definición. Pero entonces debería ser $<$ e no $\leq$.

[IV]

Podemos ahora vamos a $k \to \infty$; a continuación, para $m >N$ $$ \sum_{j=1}^\infty |\xi^{(m)}_j - \xi_j |^p \leq \varepsilon^p \hspace{2cm} \text{(3)}. $$

Omitiendo los anteriores problemas relacionados, esto está bien.

[V]

Esto demuestra que $x_m - x = ( \xi^{(m)}_j - \xi_j ) \in \ell^p$.

No está completamente seguro de que me vean por qué es realmente el caso.

[VI]

Desde $x_m \in \ell^p$, se sigue por medio de la Minkowsky la desigualdad, que $$ x = x_m + (x - x_m) \in \ell^p. $$

La referencia a la Minkowsky la desigualdad es realmente misterioso.

[VII]

Además, la serie en (3) corresponde al $[d(x_m,x_)]^p$, de modo que (3) implica que $x_m \to x$. Desde $(x_m)$ fue arbitraria secuencia de Cauchy en $\ell^p$, esto demuestra la integridad de $\ell^p$ donde $1 \leq p < \infty$. QED

Lo siento por la vivisección de esta sencilla prueba, pero tengo la sensación de que por la correcta captura de cada paso de aquí, podría mejorar drásticamente mi comprensión general de los reales herramientas de análisis y los procedimientos.

Gracias por su tiempo y paciencia. Como siempre, cualquier comentario es más que bienvenido!

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Edición de RECOMPENSA:

Estoy editando esta pregunta porque me estoy poniendo de una recompensa. Lo cierto es que, he recibido comentarios muy valiosos, pero todavía eran sólo los comentarios, y realmente me gustaría tener una respuesta, porque me hace sentir muchas de las cosas que se ven aquí misterioso tiene que ser bastante importante.

También tengo la sensación de que algunos de los problemas a los que me mostraron en estas cuestiones, por ejemplo, el que está abajo en (1), puede dar la sensación de que es imposible que yo pueda tratar de leer algo de avanzada, sin tener una sólida agarra de otras cosas, y tal vez esto podría poner un potencial de la comunidad en la incómodas posición de la sensación de "Venga, hombre, ¿es una broma? No me dejes perder mi tiempo. No puedo volver a enseñar 2+2!". Sin embargo, así es como son las cosas, y esto es principalmente debido al hecho de que yo soy autodidacta, lo cual me puso en la posición de elegir mis propios temas. Pero, en realidad, exactamente los muy ingenuos preguntas son las que me puso en el camino correcto a seguir estudiando correctamente.

Por lo tanto, me actualizó la numeración de las partes en las que he dividido la prueba del teorema para referirse fácilmente a las preguntas para cada parte.

1) Es el cambio de $\infty$ $k$[II] relacionado con el hecho de que estamos tratando con una serie, por lo que normalmente vemos cómo una serie de comportarse con sus términos finitos, antes de dejar que el límite va a $\infty$ (que es lo que sucede en [III]?

2) Es en el paso [V] implícitamente se supone que es el caso debido al hecho de que es para todos los $j$?

3) ¿Cómo paso [VI] vienen de la Minkowsky la desigualdad?

Por supuesto, cualquier otra suma o la explicación es que la mayoría de la recepción.

Gracias por su tiempo!

Answer 1

Voy a usar tu post para agregar las explicaciones en línea.

[I]

Teorema: El espacio de $\ell^p$ es completa; aquí $p$ es fijo e $1 \leq p < \infty$.

Prueba: Vamos a $(x_n)$ ser cualquier secuencia de Cauchy en $\ell^p$ donde $x_m = ( \xi^{(m)}_1, \xi^{(m)}_2, \dots )$. A continuación, para cada $\varepsilon > 0 $ hay un $N$ tal que para todo $m, n >N$, \begin{equation} d ( x_m, x_n ) = \Bigg( \sum_{j=1}^\infty |\xi^{(m)}_j - \xi^{(n)}_j |^p \Bigg)^{\frac{1}{p}} < \varepsilon \hspace{2cm} \text{(1)} . \end{equation} Se sigue que para cada $j = 1,2, \dots$ tenemos para $m,n >N$ $$ |\xi^{(m)}_j - \xi^{(n)}_j | < \varepsilon \hspace{2cm} \text{(2)}. $$ We choose a fixed $j$. From (2) we see that $( \xi^{(1)}_j, \xi^{(2)}_j, \dots )$ es una secuencia de Cauchy de números. Es converge desde $\Re$ está completa, es decir $\xi^{(m)}_j \to \xi_j$ $m \to \infty$. Using these limits, we define $X = (\xi_1, \xi_2, \dots)$ y muestran que $x \in \ell^p$$x_m \to x$.

Esto se ve bien,

Respuesta: OK.

[II]

A partir de (1) tenemos para todos los $m,n >N$ $$ \sum_{j=1}^k |\xi^{(m)}_j - \xi^{(n)}_j |^p < \varepsilon^p \hspace{2cm} (k=1,2,\dots). $$

Primeros problemas!

Veo que el $\varepsilon^p$ viene, pero lo que me desconcierta es el $k$ sobre la parte superior de $\sum$. Veo que se trata de (1) (de hecho, si funciona para $j \to \infty$, entonces tiene que trabajar necesariamente finita $k$. Aún así, no veo por qué necesitamos para hacerlo.

¿Por qué no simplemente se adhieren a (1)?

Respuesta: el motivo es El siguiente paso. Quieren tomar como límite $n\to\infty$. Pero para que la serie no está claro (no sabemos si) nos puede intercambiar el límite de la suma (que es lo que tenemos que demostrar).

Por otro lado, la truncada suma es una suma finita. Más que eso, es una función continua $f(y_1,y_2,...,y_k):=\sum_{j=1}^{k}|\xi_j^{m}-y_j|^p$. Así que, tomando el límite de $f(\xi_j^{(n)},\xi_j^{(n)},...,\xi_j^{(n)})$ $n\to\infty$ para el finito suma es la misma como la evaluación en el punto límite $\xi_j$ conseguir $f(\xi_1,\xi_2,...,\xi_k)=\sum_{j=1}^{k}|\xi_j^{(m)}-\xi_j|^p$.

Respuesta ampliada a la dirección de el comentario:

¿Por qué la continuidad? Lo que queremos tomar $\lim_{n\to\infty}$ en ambos lados de (1) de tal manera que podemos tomar el límite en el interior como en

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^{\infty}|\xi_j^{(m)}-\xi_j^{(n)}|^p=\sum_{j=1}^{\infty}|\xi_j^{(m)}-\lim_{n\to\infty}\xi_j^{(n)}|^p$$

Pero no está claro que si es cierto. Por otro lado, el finito suma es una suma finita de funciones continuas. Por lo tanto, es continua y que podemos hacer $$\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^{k}|\xi_j^{(m)}-\xi_j^{(n)}|^p=\sum_{j=1}^{k}|\xi_j^{(m)}-\lim_{n\to\infty}\xi_j^{(n)}|^p=\sum_{j=1}^{k}|\xi_j^{(m)}-\xi_j|^p\leq \lim_{n\to\infty}\epsilon^p=\epsilon^p$$ nos da el siguiente paso.

Recuerde que una función es continua si siempre $\lim_{n\to\infty}a_n=a$ implica $$\lim_{n\to\infty}f(a_n)=f(\lim_{n\to\infty}a_n)$$

[III]

Dejando $n \to \infty$, obtenemos para $m>N$ $$ \sum_{j=1}^k |\xi^{(m)}_j - \xi_j |^p \leq \varepsilon^p \hspace{2cm} (k=1,2,\dots). $$

Mismo problema que antes, además de la misteriosa $\leq$ entre LHS y RHS. De hecho, creo que la idea debe ser que la secuencia converge y es de Cauchy, por lo tanto el $\varepsilon > 0$ es el mismo que utilizamos en la definición de Cauchy de la secuencia, y en el límite estándar de definición. Pero entonces debería ser $<$ e no $\leq$.

Respuesta: Esta es la norma cuando se trabaja con las desigualdades y los límites. Si $a_n<b_n$$\lim a_n=a$$\lim b_n=b$, a continuación, lo más que podemos decir es $a\leq b$. Tomar, por ejemplo,$a_n=0$$b_n:=1/n$. Sabemos que $0<1/n$, pero los límites de ambos lados son iguales.

[IV]

Podemos ahora vamos a $k \to \infty$; a continuación, para $m >N$ $$ \sum_{j=1}^\infty |\xi^{(m)}_j - \xi_j |^p \leq \varepsilon^p \hspace{2cm} \text{(3)}. $$

Omitiendo los anteriores problemas relacionados, esto está bien.

Respuesta: OK.

[V]

Esto demuestra que $x_m - x = ( \xi^{(m)}_j - \xi_j ) \in \ell^p$.

No está completamente seguro de que me vean por qué es realmente el caso.

Respuesta: La anterior desigualdad calculada, la desigualdad (3), es $||x_m-x||_p\leq\epsilon<\infty$. Esta es la definición de ser en $\ell^p$.

[VI]

Desde $x_m \in \ell^p$, se sigue por medio de la Minkowsky la desigualdad, que $$ x = x_m + (x - x_m) \in \ell^p. $$

La referencia a la Minkowsky la desigualdad es realmente misterioso.

Respuesta: en Primer lugar recordar que Minkowsky la desigualdad es $$||x+y||_p\leq ||x||_p+||y||_p$$ for all $x,y\in\ell^p$. This is just the triangle inequality for the norm $||\cdot||_p$.

Tenemos que $$||x||_p=||x_m+(x-x_m)||_p\leq||x_m||_p+||x-x_m||_p$$ La desigualdad anterior es Minskowsky de la desigualdad (que es el triángulo de la desigualdad de la $||\cdot||_p$ norma).

Ahora vamos a terminar la delimitación de la mano derecha para mostrar que es finito.

El último término, $||x-x_m||_p$, lo teníamos ya delimitada por $\epsilon$ todos los $m>N$.

El plazo $||x_m||_p$ es finito porque $x_m\in\ell^p$.

Por lo tanto, $||x||_p$ es menor que el número finito $||x_m||_p+||x-x_m||_p$ y por lo tanto, es finito. Entonces, por definición, $x\in\ell^p$.

[VII]

Además, la serie en (3) corresponde al $[d(x_m,x)]^p$, de modo que (3) implica que $x_m \to x$. Desde $(x_m)$ fue arbitraria secuencia de Cauchy en $\ell^p$, esto demuestra la integridad de $\ell^p$ donde $1 \leq p < \infty$. QED