$L^{p}$ funciones de Rudin Ejercicios 3.5

Question

Intento responder a una pregunta del capítulo 3, pregunta 5, del libro "Análisis real y complejo" de Rudin. Resumiré la pregunta como sigue: Supongamos que $f$ es una función compleja medible sobre $X$ , $\mu$ una medida positiva sobre $X$ . Además, supongamos que $\mu(X)=1$ .

1) Si $0<r<s\leq\infty$ ¿Cuándo es que $||f||_{r}=||f||_{s}<\infty$ ¿se mantiene? Mi corazonada es que esto sucede cuando $f$ es una función constante, pero no puedo demostrarlo.

2) Supongamos que $||f||_{r}<\infty$ para algunos $r>0$ , demuestre que

\begin{eqnarray} \lim_{p\rightarrow 0}||f||_{p}=\exp\left\{\int_{X}\log|f|d\mu\right\} \end{eqnarray} donde $\exp(-\infty)$ se define como $0$ .

Para ello, he comprobado que $||f||_{p}$ está limitada por debajo de la expresión del lado derecho, pero estoy atascado aquí.

¡Se agradece cualquier ayuda! Gracias.

Answer 1

1. Primero asuma $s$ finito. Entonces por caso de igualdad en la desigualdad de Hölder , $$|f(x)|^{s-r}=\lVert f\rVert_s^{s-r}.$$ Si $s$ es infinito, entonces $$\lVert f\rVert_{\infty}^r=\int|f(x)|^r,$$ por lo que $x\mapsto \lVert f\rVert_{\infty}^r-|f(x)|^r$ es una función medible no negativa de la integral $0$ . Así que en ambos casos $f$ es (casi seguro) constante.

2. Es suficiente con asumir $r=1$ que se hace aquí .