Distribuciones de Delta con argumentos no lineales

Question

Estoy confundido por el uso de los lineales de los argumentos con los Dirac $\delta$ distribución que estoy encontrando en la literatura. Esto se parece a un uso generalizado, pero para la concreción vamos a centrarnos en un solo ejemplo. En este papel por Tataru y de Geba, la primera fórmula es $$\etiqueta{1} K(t, x)=c_n 1_{t>0} \begin{cases} (t^2-x^2)_+^{-\frac{n-1}{2}} & n \text{ even} \\ \delta^{\left(\frac{n-3}{2}\right)} (t^2-x^2) & n\text{ odd} \end{casos}$$

Gran pregunta. Cómo interpretar esta fórmula?

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De acuerdo a la liga de papel, la fórmula (1) es la solución a este problema: \begin{equation} \begin{cases} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\Delta u =0 \\ u(0)=0,\ \frac{\partial u}{\partial t}(0)=\delta(x). \end{casos} \end{equation} Para tener una idea, he intentado restringir el mismo a la $n=3$ de los casos, donde de Kirchhoff de la fórmula nos dice que $$K(t, x)=c_3 1_{t>0} \frac{1}{t} d\sigma_t, $$ donde $d\sigma_t$ es el de la medida de superficie de la esfera de radio $t$.

Pequeña pregunta. La equiparación de Kirchhoff de la fórmula y la fórmula (1) deduzco que la siguiente identidad debe ser cierto: $$\tag{?} \delta(t^2-\lvert x\rvert^2)=\frac{1}{t}d\sigma_t, \qquad x \in \mathbb{R}^3,\ t>0.$$ Podemos probar (?) directamente?

La comprensión de la identidad (?) podría ser un buen comienzo hacia la comprensión de la fórmula más general (1), en la que el superíndice ${n-3\over 2}$ no se desvanecen.

P. S. La respuesta a las preguntas en este post podría estar en algún lugar en el Capítulo 5 del libro "La transformada de Fourier y sus aplicaciones" por Bracewell.

Answer 1

Supongo que (la palabra clave aquí es suponer) que si tenemos la función $f(t,x)$ $\Bbb R\times \Bbb R^d$ tales que la ecuación de $f(t,x)$ da un % colector $M$de dimensión $d$ sin frontera (problemas cuando tenemos degeneraciones como $t^2-x^2=0$ en el punto $(0,0)$), entonces podemos definir como una medida de este colector $\delta(f(t,x))$ $M$.

Si necesitamos $\delta^{(k)}(f(t,x))$, entonces nosotros podemos definirlo como $(\delta^{(k)}(f(t,x)),\phi) =(-1)^k (\delta (f(t,x)),\frac{\partial^k\phi}{\partial n^k}) $ $\frac{\partial^k\phi}{\partial n^k}$ siendo el derivado de $\phi$ en la dirección del vector normal a $M$.