Resolver

Question

Podemos resolver la ecuación siguiente en $\mathbb{R}$ sin expandirse a una ecuación de grado cuarto:

$$ \sqrt{3-\sqrt{3+x}} = x.$$

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cuadratura de ambos lados y cuadratura otra vez es lo único que pude hecha, si tienes cualquier otra idea a publicar notas.

Answer 1

Aquí un enfoque que también algebraicas, pero sólo involucra ecuaciones cuadráticas (el enfoque directo que produce un 4º grado de la ecuación).

Denotar $y = \sqrt{3+x}$. Entonces tenemos un sistema: $$ \begin{array}{rcl} y & = & \sqrt{3+x} \\ x & = & \sqrt{3-y} \end{array} $$ Se ve una especie de fresco. Si nos cuadrado de todo y luego restar ecuaciones obtenemos $$ y^2 - x^2 = x + y. $$ Dado que tanto $x$ $y$ son positivos, esto significa que $y-x=1$. Luego de la primera ecuación tenemos $$ x+1 = \sqrt{3+x}. $$ Ahora tenemos el cuadrado de todo y resolver la ecuación cuadrática, que da $x=1$.

Sé que esto es prácticamente el mismo que el enfoque directo, pero este se ve un poco más "contenida".

Answer 2

$\sqrt{3-\sqrt{3+x}} = x$

Deje $S$ ser el conjunto de todas las soluciones reales.

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Usted necesita $\sqrt{3+x}$ a ser definido, que es $x\ge -3$

Usted necesita $\sqrt{3-\sqrt{3+x}}$ a ser definido, que es $\sqrt{3+x}\le 3$

$3+x\le 9$

$x\le 6$

Por lo $S \subset [-3,6]$

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$\sqrt{3-\sqrt{3+(-3)}} = \sqrt{3}\not= -3$

$\sqrt{3-\sqrt{3+6}} = 0\not= 6$

Por lo $S \subset ]-3,6[$

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Deje $f:]-3,6[\to \mathbb{R}$

$f(x)=\sqrt{3-\sqrt{3+x}}-x$

$f'(x)=-\cfrac{1}{4\sqrt{3+x}\sqrt{3-\sqrt{3+x}}}-1 < 0$

Por lo $f$ es estrictamente decreciente en a $]-3,6[$

$f(-3)=\sqrt{3}+3>0$

$f(6)=0-6<0$

Por lo $\exists ! x \in ]-3,6[, f(x)=0$

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En su caso, usted puede encontrar fácilmente que $f(1)=0$

Así que encontrar a $S=\{1\}$

De lo contrario, tendría que saber que hay una solución, pero usted no será capaz de encontrar... Que sólo sería capaz de aproximarse a ella con Newton's_method o algo similar.

Mientras que si la plaza de todo para eliminar la raíz cuadrada, usted puede encontrar todas las soluciones racionales con el Racional de la raíz teorema (y en este caso, usted podría incluso ser capaz de encontrar otras soluciones reales desde el grado es sólo $4$ (cuarto grado), pero en el caso general, usted no sería capaz).

Answer 3

En primer lugar, debe ser $\,3+x\ge 0\Longleftrightarrow x\ge -3\,$ , para el interior de la mayoría de la raíz cuadrada se define en el real de campo.

A continuación, también debe ser

$$3-\sqrt{3+x}\ge 0\Longrightarrow9\ge 3+x\Longrightarrow x\le 6$$

para el exterior de la raíz cuadrada para ser definido, por lo tanto, nuestra definición de dominio es $\,-3\le x \le 6\,$ . Ahora, directamente, por los sucesivos cuadrado:

$$x=\sqrt{3-\sqrt{3+x}}\Longrightarrow x^2=3-\sqrt{3+x}\Longrightarrow x^4-6x^2+9=3+x\Longrightarrow$$

$$x^4-6x^2-x+6=0\Longleftrightarrow x^2(x^2-6)-(x-6)=0$$

Llegamos por la inspección del cero $\,x=\,$ , por lo que

$$x^4-6x^2-x+6=(x-1)(x^3+x^2-5x-6)$$

La comprobación de soluciones racionales a lo anterior tenemos que $\,x=-2\,$ es un cero, también, así que

$$x^4-6x^2-x+6=(x-1)(x+2)(x^2-x-3)$$

Por último, las soluciones a la ecuación cuadrática son

$$x_{1,2}=\frac{1\pm\,\sqrt{13}}{2}=\begin{cases}\frac{1+\sqrt{13}}{2}\cong 2.3\\{}\\\frac{1-\sqrt{13}}{2}\cong -1.3\end{cases}$$

Así que las raíces de la cuártica se $\,-2\,,\,-1.3\,,\,1\,,\,2.3\,$ , pero ya que el cuadrado de la original irracional ecuación para obtener el cuarto grado, que ahora debe comprobar cada una de las soluciones en la ecuación original; podemos a la vez que los negativos deben ser descartados como tenemos una raíz cuadrada en uno de los lados.

Una calculadora rápida comprobación de las reglas de la raíz $\,2.3\,$ de la cuártica, por lo que la única solución real es de $\,x=1\,$

Answer 4

Me gustaría añadir que, dado que este problema es de la forma

$$f(x) = x$$

esto significa que las soluciones de la ecuación son los puntos fijos de la función $f$.

Si el punto fijo es interesante, se puede encontrar mediante la iteración de punto fijo.

Esto simplemente significa que comenzamos con algunas razonable conjetura por $x$, luego de evaluar $f(x)$, numéricamente. Si el resultado no es igual a $x$, se repite con ese resultado, mediante la evaluación de las $f(f(x))$ y así sucesivamente. Tratemos de que empieza con la suposición 2:

$$f(2) = \sqrt{3 - \sqrt{2 + 3}} \approx 0.874032$$ $$f(f(2)) \approx 1.031744$$

Aha! Parece ser que la atracción hacia la solución que ya sabemos. Sigamos:

$$f(f(f(2))) \approx 0.966032$$

Después de que me sale $1.000496$, $0.999938$, $1.000001$, $0.999999$ y $1.000000$. Las oscilaciones alrededor del punto fijo converge en ella a seis figuras dentro de sólo unas pocas iteraciones.

Answer 5

Es fácil suponer que la respuesta es $x=1$.

Sin embargo, uno debe probar que se trata de la única raíz. Aquí es cómo.

1. Función $ \sqrt {3- \sqrt {3+x} } $ es estrictamente decreciente.
2. $x$ De la función estrictamente creciente.
3. Se ha demostrado (pregúntele si necesita una prueba), que pueden cruzar un funciones estrictamente decreciente y estrictamente creciente en no más de 1 punto.

Puesto que tenemos un punto de $x=1$, no hay otras raíces para este equasion.