En busca de una mejor forma de pensar sobre anillos de polinomios

Question

Dado un anillo conmutativo $R$, el polinomio anillo en una variable $R[x]$ puede ser definido como el conjunto de todas las expresiones formales $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ 'obvio' reglas de la adición y la multiplicación.

¿Qué es exactamente lo que queremos decir con una 'variable' aquí no es muy clara, sin embargo. Mi pregunta principal es la siguiente:

Qustion 1. Qué significa nada para decir que $ax=xa$ $R[x]$ todos los $a\in R$?

Cuando hablamos multivariable polinomio anillos, este enfoque se vuelve engorroso. Incluso cuando se habla de $R[x, y]$, el multilpication parece algo artificial.

Además, también tenemos un isomorfismo $R[x][y]\cong R[x, y]$. Esto me está haciendo un poco incómodo:

Pregunta 2. En $R[x][y]$, me parece un poco extraño escribir $xy=yx$ (Ver Pregunta 1) pero ciertamente quiero escribir esto.

Sé que estas preguntas son más bien vagos. Así que finalmente me puede preguntar lo siguiente: ¿hay una mejor manera de pensar sobre el polinomio anillos? También, podemos intrínsecamente definir qué es una variable?

Gracias.

Answer 1

El más satisfactorio (me refiero a que parece riguroso) de manera que he visto de la definición de polinomio anillos es mediante la definición de $R[X]=\bigoplus_{n=0}^\infty R$. Es decir, elementos en $R[X]$ son de la forma $(a_0,a_1, a_2, \dots)$ con todos, pero de un número finito de $a_i=0$. A continuación, se define un producto en $R[X]$ por

$(a_0,a_1,\dots, a_n, \dots)(b_0,b_1,\dots, b_n, \dots)=(a_0b_0, a_0b_1+a_1b_0, \dots , \sum_{i+j=n}a_ib_j, \dots )$.

A continuación, después de demostrar que esto hace que $R[X]$ en un anillo, se puede definir el estándar de $i^{th}$ base de vectores $(0, \dots, 0, 1, 0, \dots):= X^i$, con la convención que $X^0=1$.

A continuación, $ax=xa$ significa

$(a,0,0, \dots )(0,1,0, \dots)=(0,1,0,\dots)(a,0,\dots)$

lo que tiene sentido y es cierto, ambos son igual a $(0,a,0,\dots)$.

Siguiente, para polinomios de variables separables, la gente suele inductivamente definir $R[X_1, \dots , X_n] := R[X_1, \dots X_{n-1}][X_n]$, por lo que, en particular,$R[X,Y]=R[X][Y]$. Ahora los elementos de este anillo son realmente secuencias de secuencias, pero con la forma en que hemos definido a $X^i$, por el contrario, podemos simplemente escribir como secuencias de cosas que parecen realmente polinomios y, a continuación, defina $Y^i$ en la misma forma en que hemos definido la $X^i$. Su pregunta 2 es exactamente la misma pregunta: ¿Qué significa decir $(X,0,\dots)(0,1,0,\dots)=(0,1,0,\dots)(X,0,\dots)$?

Answer 2

La notación $R[x]$ puede ser leído como "la conmutativa anillo creado por tomar $R$ y la adición de un nuevo elemento $x$." El hecho de que esta nueva $x$ debe conmutar con los elementos existentes es más que una parte de la definición, cuando estamos trabajando con el polinomio de anillos, estamos en general interesados en la propiedad conmutativa de los anillos, por lo que no se aventuran a salir de ese territorio, cuando añadimos un nuevo elemento.

Pensar en casos particulares como $\mathbb Q[\sqrt[3]{2}]$. Es el conjunto de los reales generados por los racionales y $\sqrt[3]{2}$. Sucede que cada una de estas racional puede escribirse como un polinomio en $\sqrt[3]{2}$ - es decir, una suma de sus poderes, multiplicado por los coeficientes racionales - y esta sigue sólo por la distribución de cualquier expresión que podría llegar a utilizar racionales y $\sqrt[3]{2}$ con la multiplicación y la suma. De curso $\sqrt[3]{2}$ viajes con todos los otros elementos, porque todo lo involucrado son números reales. En un sentido más general, se podría considerar el $\mathbb Q[x]$ $x$ de pie en para algunos desconocida complejos o de números reales - que sin duda los viajes con los otros elementos, de modo que todo es un polinomio en a$x$ -, pero que no podemos hacer reducciones más allá de que sin saber más acerca de $x$. Por eso, con el álgebra conmutativa se refiere, dejando $x$ conmuta con las cosas es la mejor manera de representar a nuestra intuición acerca de la adición de nuevos elementos a la propiedad conmutativa de los anillos. La abstracción de un poco más, vemos que $R[x]$ es sólo el conmutativa anillo que se produce cuando introducimos un nuevo elemento, llamado por $x$, y a ver qué pasa. $x$ no es realmente una variable es un nuevo objeto que está pegando en el anillo. Por lo tanto, si nos atenemos tanto $x$$y$, dado que aún queremos las cosas para el viaje, vamos a terminar con $xy=yx$.

Dicho eso, sin duda podría considerar la estructura de un anillo de $R$ se acueste con un nuevo elemento $x$ que no asumimos a conmuta con cualquier cosa - la razón por la que no es probable que debido a la estructura de este es mucho más difícil trabajar con (cada monomio tiene que ser de la forma $axbxcx\ldots$ en lugar de $ax^n$, a pesar de que todavía podemos siempre distribuir en monomials) y no es particularmente útil a la teoría algebraica de números o de la teoría de Galois, donde $R[x]$ es probable que aparezca.

Answer 3

Cuando escribimos $K[X]$, la variable $X$ simplemente representa la secuencia de $(0, 1, 0, 0, \dots)$. El producto de polinomios es tan definido que $X^i$ puede ser identificado con la secuencia de $(0, 0, \dots, 0, 1, 0, \dots)$ $1$ $i$- ésima posición. Es natural para identificar la constante de $1$ con la secuencia de $(1, 0, 0, \dots)$. Por lo tanto, el polinomio $f = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n$ puede ser identificado con la secuencia de $(a_0, a_1, \dots, a_n, 0, 0, 0, \dots)$. Esta identificación nos permite identificar a cada polinomio con una secuencia finita de apoyo de los elementos de $K$. En otras palabras, $K[X] = \{f : \Bbb N \to K \Big| \space \#|\text{supp} f| < \infty \}$.

Answer 4

Una forma de pensar sobre el espacio de grado $m$ términos de $R[x_1,\cdots,x_n]^m$ es como coordinar la representación de $\operatorname{Sym}^m R^n$ donde $\operatorname{Sym}$ es simétrica poder. Creo que esta es una más geométrica vista, en comparación con el más formal vistas implícita en las otras respuestas aquí. Entonces la respuesta a la pregunta "¿cuáles son las $x_i$?" es: una opción de base.

En este punto de vista el conjunto de coordenadas anillo de $R[x_1,\cdots,x_n]$ $\operatorname{Sym}R^n=\bigoplus_{i=0}^\infty\operatorname{Sym}^iR^n$

Ahora la pregunta 1 es entendida como una expresión de la conmutatividad de la $R$. y la pregunta 2 es una instrucción del álgebra lineal identidad $\operatorname{Sym}^n\operatorname{Sym}^m=\operatorname{Sym}^{n+m}$