Dar una inclusión explícita de $\mathbb{R}P_2$ $\mathbb{R}^4$

Question

He oído que la menor dimensión de $m$ $\mathbb{R}P_2$ para ser integrado en el espacio Euclidiano es de 4, lo que yo quería encontrar una explícita fórmulas para ello. He encontrado dos posibles estrategias, pero no está segura de que va a trabajar.

1. Definir $\phi([x_1,x_2,x_3])=(|x_1|,|x_2|,|x_3|,x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)$ donde $[x_1,x_2,x_3]$ es la eq.class bajo cociente de $S^2$. Tengo la esperanza de que sería una incrustación, ya que el último es un polinomio simétrico que es igual para$(x_1,x_2,x_3)$$-(x_1,x_2,x_3)$.

2. Mi segundo stragy es más enfoque geométrico. Tenga en cuenta que el plano proyectivo eliminado un círculo es una banda de Möbius $M$. Por lo tanto, si yo pudiera "pegar" el límite de un disco cerrado (a través de la cuarta dimensión) sobre el límite de giro de una Banda de Möbius, entonces estoy hecho. Pero como no soy bueno en la "visualización" de cuatro dimensiones, no sé exactamente cómo proceder.

Mi pregunta es:

1) es 1. una incrustación o no? (O dar otro más elegante involucración)

2) ¿hay una manera de darse cuenta de mi segundo enfoque? o que no hay esperanza?

3) ¿hay una forma más sistemática de hacer las incrustaciones? (Francamente, Si nuestro mundo es $\mathbb{R}_2$, que probablemente ni siquiera sea capaz de imaginar cómo incorporar el toro en $\mathbb{R}_3$)

Answer 1

Un ejemplo de una incrustación de objetos (real algebraicas, por lo tanto real, analítica, por lo tanto $C^\infty$, por lo tanto topológico) de $\mathbb P^2(\mathbb R)$ a $\mathbb R^4$ está dado por $$i: \mathbb P^2(\mathbb R)\to \mathbb R^4: [x:y:z]\mapsto [xy:xz:yz:x^2+2y^2+3z^2]$$

No obstante, es imposible para incrustar $\mathbb P^2(\mathbb R)$ a $\mathbb R^3$: la razón más sencilla es la que cerrado, superficie lisa en $\mathbb R^3$ es orientable, mientras que $\mathbb P^2(\mathbb R)$ es bien conocido por no ser orientable.

Como consuelo, es posible sumergirse no injectively $\mathbb P^2(\mathbb R)$ a $\mathbb R^3$: la imagen de la variedad se llama el Muchacho de la superficie (no misoginia aquí: el nombre honra al matemático Werner Boy)

Editar
Como una respuesta a Michael comentario permítanme mencionar que de acuerdo a un célebre teorema de Whitney, cada compacto $n$-dimensiones smoooth colector ($n\gt1$) puede ser sumergido en $ \mathbb R^{2n-1}$ e incrustado en $ \mathbb R^{2n}$.
Sin embargo, para $\mathbb P^n(\mathbb R)$ a veces se obtienen mejores resultados y esto ha sido objeto de mucha investigación. Por ejemplo, $\mathbb P^{15}(\mathbb R)$ puede ser embebido en $ \mathbb R^{24}$.
Usted encontrará muchos de estos resultados en una interesante mesa aquí .

Answer 2

Puede hacer #2 por lo que se llama "La película se mueve". Pensar en $\mathbb{R}^4 = \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}$. Luego en el nivel $\mathbb{R}^3\times 0$ integrar la banda de Möbius. Suavemente se propagan el límite de la banda de Möbius para $\mathbb{R}^3\times \epsilon$. Ahora, el límite de la banda es un suave relajar así podemos insertar isotopy al estándar de Möbius relajar en $\mathbb{R}^3\times [\epsilon,1-\epsilon]$. Ahora tapa el unknot dentro de $\mathbb{R}^3\times [1-\epsilon,1]$.

Answer 3

Con respecto a su 2do estrategia, la observación de que tiene problemas para "visualizar" las cuatro dimensiones.

Una manera de pensar acerca de su 2do estrategia es la siguiente: se puede sumergir $\mathbb RP^2$ a $\mathbb R^3$, colocando un disco y una cinta de Moebius a lo largo de sus boudnaries. El problema, como usted sabe, es que se te auto-intersecciones. Pero ahora imagine que en realidad llevar a cabo (con goma modelos de un disco y una cinta de Moebius), pero de trazado no sólo los puntos resultantes en $\mathbb R^3$, pero los tiempos en que se coloca cada uno de los puntos de su modelo en sus posiciones finales. (Así que ahora se trazan los puntos en $\mathbb R^4$, no $\mathbb R^3$.)

Los puntos que se cruzan va a llegar a su posición final en diferentes momentos, y así obtendrás una incrustación de $\mathbb R P^2$$\mathbb R^4$.

En términos más generales, el viejo cliché de la "cuarta dimensión" en realidad puede ser muy útil para la visualización de determinadas construcciones en $\mathbb R^4$: te imaginas haciendo algunas construcción geométrica en $\mathbb R^3$, pero también imaginar la construcción como un proceso de toma lugar a lo largo del tiempo; esto te permite "ver" una construcción en $\mathbb R^4$.