¿Es cierto que cada elemento de $V \otimes W$ es un simple tensor $v \otimes w$?

Question

Sé que cada vector en un % del producto del tensor $V \otimes W$es una suma de tensores simples $v \otimes w$ $v \in V$ y $w \in W$. En otras palabras, cualquier $u \in V \otimes W$ puede expresarse en la forma $$u = \sum_{i=1}^r v_i \otimes w_i$$for some vectors $ v_i \in V $ and $ w_i \in W $. This follows from the proof of the existence of $v # \otimes W $, where one shows that $v # \otimes W $ is spanned by the simple tensors $v # \otimes w $; the assertion now follows from the fact that, in forming linear combinations, the scales can be absorbed in the vectors: $c(v \otimes w) = (cv) \otimes w = $ v\otimes (cw).

Mi pregunta es, es cierto en general que cada elemento de $V \otimes W$ es un simple tensor $v \otimes w$?

Answer 1

Supongamos que,$\dim V=m$$\dim W=n$$m\geq 2$$n\geq2$.

Supongamos que $\{v_1,v_2\}$ son linealmente independientes en $V$ y $\{w_1,w_2\}$ son linealmente independientes en $W$. En busca de una contradicción, supongamos que $$ v_1\otimes w_1+v_2\otimes w_2=v\otimes w\etiqueta{1} $$ A continuación, extender $\{v_1,v_2\}$ a una $\{v_1,v_2,v_3,\dotsc,v_m\}$ $V$ y extender $\{w_1,w_2\}$ a una $\{w_1,w_2,\dotsc,w_n\}$$W$. Escribir \begin{align*} v &= \alpha_1\,v_1+\dotsb+\alpha_m\,v_m \\ w &= \beta_1\,w_2+\dotsb+\beta_n\,w_m \end{align*} así que $$ v\otimes w=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\alpha_i\beta_j\,v_i\otimes w_j\etiqueta{2} $$ Pero $\mathcal B=\{v_i\otimes v_j:1\leq i\leq m,1\leq j\leq n\}$ es una base para $V\otimes W$ (comprobar!) así (1) y (2) implica $$ \alpha_i\beta_j= \begin{cases} 1 & i=j=1 \\ 1 & i=j=2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{casos} $$ que es claramente equivalente a \begin{align*} \alpha_i &= \begin{cases} 1 & i =1,2 \\ 0 & i\neq 1,2 \end{casos} y \beta_j &= \begin{cases} 1 & j=1,2 \\ 0 & j\neq 1,2 \end{casos} \end{align*} Ahora, podemos reescribir (1) como \begin{align*} v_1\otimes w_1+v_2\otimes w_2 &= v\otimes w \\ &= (v_1+v_2)\otimes (w_1+w_2) \\ &= v_1\otimes w_1+v_1\otimes w_2+v_2\otimes w_1+v_2\otimes w_2 \end{align*} lo que se contradice con que $\mathcal B$ es una base para $V\otimes W$.

Answer 2

Este es, en general, no es cierto. Una manera fácil de ver esto, es la siguiente: se supone que $V$, $W$ se $n$ $m$ dimensiones de campos vectoriales sobre los números complejos, entonces es bastante fácil demostrar que $V\otimes W$ es isomorfo a $\mathbb{C}^{n\times m}$ con el siguiente isomorfismo $\phi: V\otimes W \rightarrow \mathbb{C}^{m\times n}$, que se define como

$\phi(u\otimes w) := uw^{H}$ para primaria tensores y ampliado por la linealidad para todos los $x \in V\otimes W$.

Ahora, debido a ismorphism entre ambos espacios, se puede estudiar la misma pregunta en $\mathbb{C}^{n\times m}$: Observe que la primaria tensores $u\otimes w$ corresponden a matrices de $uw^{H}$, por lo que sólo de rango uno. Matriz general $M\in\mathbb{C}^{n\times m}$ puede ser descompuesto en una combinación lineal de rango uno matrices (utilizando SVD, por ejemplo), pero no es, obviamente, correspondiente a un rango de una matriz. Por lo tanto la transferencia de la propiedad a $V\otimes W$ mediante el isomorfismo, vemos que no todos los elementos de la $V\otimes W$ es un elemental de tensor.

Answer 3

Es necesariamente posible escribir todos los tensores como un simple tensor cuando cualquiera de las $V$ o $W$ tiene dimensión $1$ (o $0$). Esto se lo dejo a usted para confirmar, la prueba es bastante trivial.

Por otro lado, supongamos que $V$ $W$ tiene dimensiones de la $2$ o más, y que nos da una base de vectores $v_i$ $w_i$ para los respectivos espacios. Entonces estoy bastante seguro de que podemos decir: $$ v_1 \otimes w_2 + v_2 \otimes w_1 \neq v \otimes w \qquad \forall v \V, w \W $$ En el contexto de la mecánica cuántica, esto equivale a la declaración de "estado puro $v_1 \otimes w_2 + v_2 \otimes w_1$ es enredados" (QM supone, sin embargo, que el $V$ $W$ tiene un producto interior).

De hecho, los estados $v_1 \otimes w_1 \pm v_2 \otimes w_2$ $v_1 \otimes w_2 \pm v_2 \otimes w_1$ se refiere a como la Campana de los Estados, ya que son el "ejemplo canónico" de enredo (es decir, ninguno de estos vectores puede ser escrito como simple tensores).